4. 据说,美国第二十任总统加菲尔德曾采用如图所示的图形证明勾股定理,其中两个全等的直角三角形的边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是( )


A.$S_{△ EDA}= S_{△ CEB}$
B.$S_{△ EDA}+S_{△ CEB}= S_{△ CDE}$
C.$S_{四边形CDAE}= S_{四边形CDEB}$
D.$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}= S_{四边形ABCD}$

D

梯形ABCD的面积可以表示为 $S_{四边形ABCD}$，这个面积也等于三个三角形 $△EDA$、$△CDE$ 和 $△CEB$ 的面积之和，即 $S_{△EDA} + S_{△CDE} + S_{△CEB}$。
根据图形和面积守恒原理，有：
$S_{四边形ABCD} = S_{△EDA} + S_{△CDE} + S_{△CEB}$。

5. 关于勾股定理的证明有一种简洁的方法叫“常春证法”.将两个全等的Rt△ABC和Rt△DEF按如图所示的方法摆放,其中BC= a,AC= b,AB= c.点F落在AC上,点C与点E重合,斜边AB与斜边CD交于点M,连接AD,BD.
(1)∠AMC= ______°,四边形ACBD的面积= ______；(用含a,b的代数式表示)
(2)请利用“常春图”证明勾股定理.

(1) 90；$\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$
(2) 由(1)知四边形ACBD的面积为$\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$。
又因为AB与CD为两全等直角三角形的斜边，所以AB=CD=c，且∠AMC=90°。设AM=m，BM=n，CM=p，DM=q，则m+n=c，p+q=c。
四边形ACBD的面积还可表示为四个直角三角形面积之和：$\frac{1}{2}mp+\frac{1}{2}np+\frac{1}{2}nq+\frac{1}{2}mq=\frac{1}{2}(m+n)(p+q)=\frac{1}{2}c· c=\frac{1}{2}c^{2}$。
因此$\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})=\frac{1}{2}c^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。