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1. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AB= 10$,$D$ 是 $AB$ 的中点,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$,垂足为 $E$,则 $EC$ 的长是 ( )
A.$\frac{5}{2}$
B.$5$
C.$7$
D.$\frac{15}{2}$
A.$\frac{5}{2}$
B.$5$
C.$7$
D.$\frac{15}{2}$
答案
D
解析
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=10，∠A=60°。
∵D是AB中点，
∴AD=AB/2=5。
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，∠ADE=30°。
∴AE=AD/2=5/2。
∴EC=AC - AE=10 - 5/2=15/2。
∴AB=AC=10，∠A=60°。
∵D是AB中点，
∴AD=AB/2=5。
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，∠ADE=30°。
∴AE=AD/2=5/2。
∴EC=AC - AE=10 - 5/2=15/2。
2. 如图,一根木棒 $AB$ 斜靠在竖直的墙上,$P$ 是 $AB$ 中点,$A'B'$ 表示木棒 $AB$ 在滑动过程中的某一位置.以下说法正确的是 ( )
A.下滑时,$OP$ 的长度增大
B.上升时,$OP$ 的长度减小
C.只要滑动,$OP$ 的长度就变化
D.无论怎样滑动,$OP$ 的长度不变
A.下滑时,$OP$ 的长度增大
B.上升时,$OP$ 的长度减小
C.只要滑动,$OP$ 的长度就变化
D.无论怎样滑动,$OP$ 的长度不变
答案
D
解析
连接OP，在Rt△AOB中，P是AB中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OP=1/2AB。滑动过程中AB长度不变，故OP长度不变。
3. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ B= 90°$,边 $AC$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$,交 $BC$ 于点 $E$,且 $∠ C= 15°$,$AB= 1$,则 $EC= $______.
答案
$2$（（横线处直接填数字2即可））
解析
连接$AE$，因为$DE$垂直平分$AC$，所以$AE = EC$。
因为$∠ C = 15°$，所以$∠ EAC=∠ C = 15°$，
则$∠ AEB = ∠ EAC + ∠ C = 30°$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ B = 90°$，$∠ AEB = 30°$，$AB = 1$，
因为$30°$所对直角边等于斜边的一半，
所以$AE = 2AB = 2$，
所以$EC = AE = 2$。
因为$∠ C = 15°$，所以$∠ EAC=∠ C = 15°$，
则$∠ AEB = ∠ EAC + ∠ C = 30°$。
在$Rt△ ABE$中，$∠ B = 90°$，$∠ AEB = 30°$，$AB = 1$，
因为$30°$所对直角边等于斜边的一半，
所以$AE = 2AB = 2$，
所以$EC = AE = 2$。
4. 直角三角形斜边上的高和中线分别为 $2$ 和 $3$,则该直角三角形的面积为________.
答案
6
解析
在直角三角形中，根据面积公式，斜边上的高$h$与斜边$c$的关系有面积$S = \frac{1}{2}hc$，同时斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边上的高为$2$，中线为$3$，所以斜边$c = 2 × 3 = 6$。
则三角形的面积为：$S = \frac{1}{2} × 2 × 6 = 6$。
已知斜边上的高为$2$，中线为$3$，所以斜边$c = 2 × 3 = 6$。
则三角形的面积为：$S = \frac{1}{2} × 2 × 6 = 6$。
