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5. (2024德州) 在0，$$\frac{1}{2}$$，-2，$$\sqrt{2}$$这四个数中，最小的数是().
A.0
$B.\frac{1}{2}$
C.-2
$D.\sqrt{2}$
A.0
$B.\frac{1}{2}$
C.-2
$D.\sqrt{2}$
答案
C
解析
首先，正数和0都比负数大，在给定的四个数$0$，$\frac{1}{2}$，$-2$，$\sqrt{2}$中，$-2$是负数，其余$0$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$均大于等于$0$。
所以只需比较可确定$-2$最小（因为其他数都大于等于0，而$-2＜0$）。
所以只需比较可确定$-2$最小（因为其他数都大于等于0，而$-2＜0$）。
6. (2024北京) 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是().
A.b＞-1
B.|b|＞2
C.a + b＞0
D.ab＞0
A.b＞-1
B.|b|＞2
C.a + b＞0
D.ab＞0
答案
C
解析
由数轴可知，b在-2和-1之间，即-2＜b＜-1；a在2和3之间，即2＜a＜3。
A. b＞-1：因b＜-1，故错误；
B. |b|＞2：|b|在1和2之间，即1＜|b|＜2，故错误；
C. a + b＞0：a＞2，|b|＜2，正数绝对值大，故a + b＞0，正确；
D. ab＞0：a为正，b为负，ab＜0，故错误。
A. b＞-1：因b＜-1，故错误；
B. |b|＞2：|b|在1和2之间，即1＜|b|＜2，故错误；
C. a + b＞0：a＞2，|b|＜2，正数绝对值大，故a + b＞0，正确；
D. ab＞0：a为正，b为负，ab＜0，故错误。
7. 将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来.
答案
先计算各数的值：
$-\frac{1}{2} = -0.5$，
$-3$，
$|-2| = 2$，
$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$。
将这些数在数轴上表示出来（见数轴图）：
$-4, -3, -2, -1, -0.5, 0, 1.5, 2, 3, 4, 5, 6$。
用“$＜$”号连接：
$-3 ＜ -0.5 ＜ \sqrt{\frac{9}{4}}（或1.5） ＜ |-2|（或2）$，
即：
$-3 ＜ -\frac{1}{2} ＜ \sqrt{\frac{9}{4}} ＜ |-2|$。
$-\frac{1}{2} = -0.5$，
$-3$，
$|-2| = 2$，
$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1.5$。
将这些数在数轴上表示出来（见数轴图）：
$-4, -3, -2, -1, -0.5, 0, 1.5, 2, 3, 4, 5, 6$。
用“$＜$”号连接：
$-3 ＜ -0.5 ＜ \sqrt{\frac{9}{4}}（或1.5） ＜ |-2|（或2）$，
即：
$-3 ＜ -\frac{1}{2} ＜ \sqrt{\frac{9}{4}} ＜ |-2|$。
8. 正整数a，b分别满足$$\sqrt[3]{7}＜a＜\sqrt[3]{15}$$，$$\sqrt{7}＜b＜\sqrt{15}$$，则$$b^a$$=().
A.6
B.8
C.9
D.16
A.6
B.8
C.9
D.16
答案
C
解析
因为$1^3=1$，$2^3=8$，$3^3=27$，且$\sqrt[3]{7}＜a＜\sqrt[3]{15}$，所以$a=2$；因为$2^2=4$，$3^2=9$，$4^2=16$，且$\sqrt{7}＜b＜\sqrt{15}$，所以$b=3$；则$b^a=3^2=9$。
9. 已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中一定正确的是().
A.ab＞0
B.a + 2b＜0
C.|a|＜|b|
D.2a - b＞0
A.ab＞0
B.a + 2b＜0
C.|a|＜|b|
D.2a - b＞0
答案
D
解析
由数轴可知，b＜0＜a，且|a|＞|b|。
A. ab＜0，错误；
B. 设a=2，b=-1，则a+2b=0，错误；
C. |a|＞|b|，错误；
D. 因为a＞0，b＜0，所以2a＞0，-b＞0，故2a - b＞0，正确。
A. ab＜0，错误；
B. 设a=2，b=-1，则a+2b=0，错误；
C. |a|＞|b|，错误；
D. 因为a＞0，b＜0，所以2a＞0，-b＞0，故2a - b＞0，正确。
10. 比较4，$$\sqrt{17}$$，$$\sqrt[3]{63}$$的大小，正确的是().
$A.4＜\sqrt{17}＜\sqrt[3]{63}$
$B.4＜\sqrt[3]{63}＜\sqrt{17}$
$C.\sqrt[3]{63}＜4＜\sqrt{17}$
$D.\sqrt{17}＜\sqrt[3]{63}＜4$
$A.4＜\sqrt{17}＜\sqrt[3]{63}$
$B.4＜\sqrt[3]{63}＜\sqrt{17}$
$C.\sqrt[3]{63}＜4＜\sqrt{17}$
$D.\sqrt{17}＜\sqrt[3]{63}＜4$
答案
C
解析
首先比较$4$与$\sqrt{17}$：
因为$4=\sqrt{16}$，且$\sqrt{16} ＜ \sqrt{17}$，所以$4＜\sqrt{17}$。
接着比较$4$与$\sqrt[3]{63}$：
因为$4 = \sqrt[3]{64}$，且$\sqrt[3]{64}＞\sqrt[3]{63}$，所以$\sqrt[3]{63}＜4$。
综上可得$\sqrt[3]{63}＜4＜\sqrt{17}$。
因为$4=\sqrt{16}$，且$\sqrt{16} ＜ \sqrt{17}$，所以$4＜\sqrt{17}$。
接着比较$4$与$\sqrt[3]{63}$：
因为$4 = \sqrt[3]{64}$，且$\sqrt[3]{64}＞\sqrt[3]{63}$，所以$\sqrt[3]{63}＜4$。
综上可得$\sqrt[3]{63}＜4＜\sqrt{17}$。
11. 如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1. 若$$AB = AE$$，则数轴上点E所表示的数为.
答案
-1+√3
解析
因为正方形ABCD面积为3，所以边长AB=√3。因A表示-1，且AB=AE，点E在A右侧，故E表示的数为-1+√3。
12. 已知某个长方体的体积是1800，它的长、宽、高的比是5:4:3，则该长方体的长、宽、高是有理数还是无理数？为什么？
答案
设长方体的长、宽、高分别为$5x$，$4x$，$3x$。
根据长方体的体积公式，有：
$V = \mathrm{长} × \mathrm{宽} × \mathrm{高}$
代入已知条件，得：
$1800 = 5x × 4x × 3x$
$1800 = 60x^{3}$
从上式解得：
$x^{3} = 30$
$x = \sqrt[3]{30}$
因此，长方体的实际长、宽、高为：
长 = $5\sqrt[3]{30}$（无理数），
宽 = $4\sqrt[3]{30}$（无理数），
高 = $3\sqrt[3]{30}$（无理数），
由于$\sqrt[3]{30}$不能表示为两个整数的比，且不是有限小数或循环小数，所以它是无理数。
因此，长方体的长、宽、高都是无理数。
根据长方体的体积公式，有：
$V = \mathrm{长} × \mathrm{宽} × \mathrm{高}$
代入已知条件，得：
$1800 = 5x × 4x × 3x$
$1800 = 60x^{3}$
从上式解得：
$x^{3} = 30$
$x = \sqrt[3]{30}$
因此，长方体的实际长、宽、高为：
长 = $5\sqrt[3]{30}$（无理数），
宽 = $4\sqrt[3]{30}$（无理数），
高 = $3\sqrt[3]{30}$（无理数），
由于$\sqrt[3]{30}$不能表示为两个整数的比，且不是有限小数或循环小数，所以它是无理数。
因此，长方体的长、宽、高都是无理数。
13. (运算能力) 阅读下列材料：如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a，这个数就叫作a的n次方根，即$$x^n = a$$，则x叫作a的n次方根. 如：$$2^4 = 16$$，$$(-2)^4 = 16$$，则2，-2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和-2；再如$$(-2)^5 = -32$$，则-2叫作-32的5次方根，或者说-32的5次方根是-2.
回答下列问题：
(1) 64的6次方根是，-243的5次方根是，0的10次方根是；
(2) 归纳一个数的n次方根的情况.
回答下列问题：
(1) 64的6次方根是，-243的5次方根是，0的10次方根是；
(2) 归纳一个数的n次方根的情况.
答案
(1) ±2；-3；0；(2) 当$n$为偶数时，正数有两个互为相反数的$n$次方根，0的$n$次方根是0，负数没有$n$次方根；当$n$为奇数时，正数的$n$次方根是正数，负数的$n$次方根是负数，0的$n$次方根是0。
解析
(1) 因为$(\pm2)^6 = 64$，所以64的6次方根是$\pm2$；因为$(-3)^5=-243$，所以-243的5次方根是$-3$；因为$0^{10}=0$，所以0的10次方根是$0$。
(2) 当$n$为偶数时：正数的$n$次方根有两个，它们互为相反数；0的$n$次方根是0；负数没有$n$次方根。当$n$为奇数时：正数的$n$次方根是正数，负数的$n$次方根是负数，0的$n$次方根是0。
(2) 当$n$为偶数时：正数的$n$次方根有两个，它们互为相反数；0的$n$次方根是0；负数没有$n$次方根。当$n$为奇数时：正数的$n$次方根是正数，负数的$n$次方根是负数，0的$n$次方根是0。
