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一、选择题
1. 下列图形是中心对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
1. 下列图形是中心对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
答案
A
解析
中心对称图形是指绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形。选项A绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形；B、C、D旋转180°后均不重合。
2. 对于分式$\frac {3xy}{3x-y}$，当$x$，$y$都扩大到原来的$3$倍时，分式的值()
A.不变
B.扩大到原来的$3$倍
C.扩大到原来的$9$倍
D.不能确定
A.不变
B.扩大到原来的$3$倍
C.扩大到原来的$9$倍
D.不能确定
答案
B
解析
当$x$，$y$都扩大到原来的$3$倍时，新的$x$为$3x$，新的$y$为$3y$，代入分式得：$\frac{3×(3x)×(3y)}{3×(3x)-3y}=\frac{27xy}{9x - 3y}=\frac{9xy}{3x - y}=3×\frac{3xy}{3x - y}$，所以分式的值扩大到原来的$3$倍。
3. 将点$A(3,2)$沿$x$轴向左平移$4$个单位长度得到点$A'$，点$A'$关于$y$轴对称的点的坐标是()
A.$(-3,2)$
B.$(-1,2)$
C.$(1,2)$
D.$(1,-2)$
A.$(-3,2)$
B.$(-1,2)$
C.$(1,2)$
D.$(1,-2)$
答案
C
解析
首先，根据题意将点$A(3,2)$沿$x$轴向左平移$4$个单位长度，得到点$A'$的坐标为$(3-4, 2) = (-1, 2)$。
然后，点$A'(-1,2)$关于$y$轴的对称点，其$x$坐标取相反数，$y$坐标不变，因此坐标为$(1,2)$。
然后，点$A'(-1,2)$关于$y$轴的对称点，其$x$坐标取相反数，$y$坐标不变，因此坐标为$(1,2)$。
4. 下列因式分解正确的是()
A.$ax+ab=a(x+b)$
B.$m^{4}-1=(m+1)^{2}(m-1)^{2}$
C.$x^{2}-4x-4=(x-2)^{2}$
D.$x^{2}-y^{2}-1=(x+y+1)(x-y-1)$
A.$ax+ab=a(x+b)$
B.$m^{4}-1=(m+1)^{2}(m-1)^{2}$
C.$x^{2}-4x-4=(x-2)^{2}$
D.$x^{2}-y^{2}-1=(x+y+1)(x-y-1)$
答案
A
解析
选项A：对$ax + ab$提取公因式$a$，可得$ax+ab = a(x + b)$，因式分解正确。
选项B：根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，对$m^4 - 1$，其中$a = m^2$，$b = 1$，则$m^4 - 1=(m^2 + 1)(m^2 - 1)$，再对$m^2 - 1$使用平方差公式，$m^2 - 1=(m + 1)(m - 1)$，所以$m^4 - 1=(m^2 + 1)(m + 1)(m - 1)$，该选项因式分解错误。
选项C：对于$x^2 - 4x - 4$，若用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(x - 2)^2=x^2 - 4x + 4≠ x^2 - 4x - 4$，该选项因式分解错误。
选项D：$x^2 - y^2 - 1$不能直接分解为$(x + y + 1)(x - y - 1)$，可通过计算$(x + y + 1)(x - y - 1)=x^2-(y + 1)^2=x^2-(y^2+2y + 1)=x^2 - y^2 - 2y - 1≠ x^2 - y^2 - 1$，该选项因式分解错误。
选项B：根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，对$m^4 - 1$，其中$a = m^2$，$b = 1$，则$m^4 - 1=(m^2 + 1)(m^2 - 1)$，再对$m^2 - 1$使用平方差公式，$m^2 - 1=(m + 1)(m - 1)$，所以$m^4 - 1=(m^2 + 1)(m + 1)(m - 1)$，该选项因式分解错误。
选项C：对于$x^2 - 4x - 4$，若用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(x - 2)^2=x^2 - 4x + 4≠ x^2 - 4x - 4$，该选项因式分解错误。
选项D：$x^2 - y^2 - 1$不能直接分解为$(x + y + 1)(x - y - 1)$，可通过计算$(x + y + 1)(x - y - 1)=x^2-(y + 1)^2=x^2-(y^2+2y + 1)=x^2 - y^2 - 2y - 1≠ x^2 - y^2 - 1$，该选项因式分解错误。
5. 如图，若一次函数$y=-x+3$与$y=mx+n$($m$，$n$为常数，$m≠0$)的图象相交于点$(1,2)$，则关于$x$的不等式$-x+3＞mx+n$的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
已知两一次函数$y = -x + 3$与$y = mx + n$（$m$，$n$为常数，$m≠0$）的图象相交于点$(1,2)$。
要求不等式$-x + 3＞ mx + n$的解集，从函数图象的角度看，就是求一次函数$y = -x + 3$的图象在一次函数$y = mx + n$图象上方时$x$的取值范围。
因为两函数图象相交于点$(1,2)$，且一次函数$y = -x + 3$中$y$随$x$的增大而减小，一次函数$y = mx + n$的图象趋势不确定，但根据交点可知，当$x＜1$时，$y = -x + 3$的图象在$y = mx + n$图象上方。
所以不等式$-x + 3＞ mx + n$的解集为$x＜1$。
在数轴上表示时，是向左画且$1$处是空心点。
要求不等式$-x + 3＞ mx + n$的解集，从函数图象的角度看，就是求一次函数$y = -x + 3$的图象在一次函数$y = mx + n$图象上方时$x$的取值范围。
因为两函数图象相交于点$(1,2)$，且一次函数$y = -x + 3$中$y$随$x$的增大而减小，一次函数$y = mx + n$的图象趋势不确定，但根据交点可知，当$x＜1$时，$y = -x + 3$的图象在$y = mx + n$图象上方。
所以不等式$-x + 3＞ mx + n$的解集为$x＜1$。
在数轴上表示时，是向左画且$1$处是空心点。
6. 提升题 如图，在$Rt△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$E$是斜边$BC$上的两点，且$∠DAE=45^{\circ}$。将$△ ADC$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$后得到$△ AFB$，连接$EF$。下列结论正确的有()
①$∠EAF=45^{\circ}$；②$AE$平分$∠CAF$；③$△ ADE≌△ AFE$；④$BE^{2}+DC^{2}=DE^{2}$。
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
①$∠EAF=45^{\circ}$；②$AE$平分$∠CAF$；③$△ ADE≌△ AFE$；④$BE^{2}+DC^{2}=DE^{2}$。
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
C
解析
∵△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴AD=AF，DC=FB，∠CAD=∠BAF，∠ABF=∠C=45°，∠DAF=∠BAC=90°。
①∠EAF=∠DAF-∠DAE=90°-45°=45°，正确；
②∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+90°，∠EAF=45°，∠CAE=∠CAF-∠EAF=∠CAD+45°≠∠EAF，故AE不平分∠CAF，错误；
③在△ADE和△AFE中，AD=AF，∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE，∴△ADE≌△AFE（SAS），正确；
④∠FBE=∠ABF+∠ABC=45°+45°=90°，△FBE为直角三角形，由勾股定理得BE²+FB²=EF²，又EF=DE（△ADE≌△AFE），FB=DC，∴BE²+DC²=DE²，正确。
综上，①③④正确，共3个。
二、填空题
7. “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是。
7. “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是。
答案
有两个内角互余的三角形是直角三角形
