登录
1. 下列式子：$-\frac{1}{2x}$，$\frac{ab}{3}$，$\frac{1}{5}x + y$，$\frac{a}{π}$，$\frac{a}{3a + 1}$，其中整式为，分式为。
答案
$\frac{ab}{3}$，$\frac{1}{5}x + y$，$\frac{a}{π}$；$-\frac{1}{2x}$，$\frac{a}{3a + 1}$
解析
整式是单项式和多项式的统称，分母中不含字母。分式是分母中含有字母的式子。
$-\frac{1}{2x}$分母含字母，是分式；$\frac{ab}{3}$是单项式，是整式；$\frac{1}{5}x + y$是多项式，是整式；$\frac{a}{π}$中π是常数，分母不含字母，是整式；$\frac{a}{3a + 1}$分母含字母，是分式。
$-\frac{1}{2x}$分母含字母，是分式；$\frac{ab}{3}$是单项式，是整式；$\frac{1}{5}x + y$是多项式，是整式；$\frac{a}{π}$中π是常数，分母不含字母，是整式；$\frac{a}{3a + 1}$分母含字母，是分式。
2. 若式子$\frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{2 - a}}$在实数范围内有意义，则$a$可以取的一个整数为。
答案
0（答案不唯一，$-1$或1也算对）
解析
要使分式 $\frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{2 - a}}$ 在实数范围内有意义，需满足以下条件：
1. 分子中的根号内的表达式非负，即 $a + 1 ≥ 0$，解得 $a ≥ -1$。
2. 分母中的根号内的表达式为正，即 $2 - a ＞ 0$，解得 $a ＜ 2$。
综合以上两个条件，得到 $a$ 的取值范围为 $-1 ≤ a ＜ 2$。
在这个范围内，$a$ 可以取的整数有 $-1, 0, 1$，任选其一即可。
1. 分子中的根号内的表达式非负，即 $a + 1 ≥ 0$，解得 $a ≥ -1$。
2. 分母中的根号内的表达式为正，即 $2 - a ＞ 0$，解得 $a ＜ 2$。
综合以上两个条件，得到 $a$ 的取值范围为 $-1 ≤ a ＜ 2$。
在这个范围内，$a$ 可以取的整数有 $-1, 0, 1$，任选其一即可。
3. 不论$x$取何值，下列分式一定有意义的是()
A.$\frac{x - 1}{x^2}$
B.$\frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2}$
C.$\frac{1 - x}{x^2 + 1}$
D.$\frac{x}{x + 1}$
A.$\frac{x - 1}{x^2}$
B.$\frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2}$
C.$\frac{1 - x}{x^2 + 1}$
D.$\frac{x}{x + 1}$
答案
C
解析
分式的分母不为零时，分式才有意义，因此需要判断每个选项的分母是否有可能为零。
A. 分母为 $x^2$，当 $x = 0$ 时，分母为零，分式无意义。
B. 分母为 $(x + 1)^2$，当 $x = -1$ 时，分母为零，分式无意义。
C. 分母为 $x^2 + 1$，对于所有实数 $x$，$x^2 + 1 ≥ 1$，分母不为零，分式总有意义。
D. 分母为 $x + 1$，当 $x = -1$ 时，分母为零，分式无意义。
因此，不论 $x$ 取何值，分式一定有意义的是选项 C。
A. 分母为 $x^2$，当 $x = 0$ 时，分母为零，分式无意义。
B. 分母为 $(x + 1)^2$，当 $x = -1$ 时，分母为零，分式无意义。
C. 分母为 $x^2 + 1$，对于所有实数 $x$，$x^2 + 1 ≥ 1$，分母不为零，分式总有意义。
D. 分母为 $x + 1$，当 $x = -1$ 时，分母为零，分式无意义。
因此，不论 $x$ 取何值，分式一定有意义的是选项 C。
4. 观察下列分式：$\frac{2}{x}$，$-\frac{5}{x^2}$，$\frac{10}{x^3}$，$-\frac{17}{x^4}$，$\frac{26}{x^5}$，…。按此规律，第10个分式是()
A.$\frac{99}{x^{10}}$
B.$-\frac{99}{x^{10}}$
C.$\frac{101}{x^{10}}$
D.$-\frac{101}{x^{10}}$
A.$\frac{99}{x^{10}}$
B.$-\frac{99}{x^{10}}$
C.$\frac{101}{x^{10}}$
D.$-\frac{101}{x^{10}}$
答案
D
解析
观察分式的分子部分：$2, -5, 10, -17, 26, \ldots$，其绝对值依次为$1^2 + 1, 2^2 + 1, 3^2 + 1, 4^2 + 1, 5^2 + 1, \ldots$，符号为正负交替。
分母部分为$x^n$，其中$n$为项数。
第$n$个分式的分子为$(-1)^{n+1} (n^2 + 1)$，分母为$x^n$。
第$10$个分式：$n = 10$，分子为$(-1)^{11} (10^2 + 1) = -101$，分母为$x^{10}$，即$-\frac{101}{x^{10}}$。
分母部分为$x^n$，其中$n$为项数。
第$n$个分式的分子为$(-1)^{n+1} (n^2 + 1)$，分母为$x^n$。
第$10$个分式：$n = 10$，分子为$(-1)^{11} (10^2 + 1) = -101$，分母为$x^{10}$，即$-\frac{101}{x^{10}}$。
5. 列出各代数式。
（1）梯形的面积为$S$，上底长为$a$，下底长为$b$，请用含$a$，$b$，$S$的式子表示梯形的高；
（2）若$m$个人完成某项工程需要$a$天，求$(m + n)$个人完成此项工程需要的天数（假设每个人的工作效率一样）。
（1）梯形的面积为$S$，上底长为$a$，下底长为$b$，请用含$a$，$b$，$S$的式子表示梯形的高；
（2）若$m$个人完成某项工程需要$a$天，求$(m + n)$个人完成此项工程需要的天数（假设每个人的工作效率一样）。
答案
（1）设梯形的高为$h$，根据梯形面积公式得：
$S = \frac{1}{2}(a + b)h$，
解这个方程，得到：
$h = \frac{2S}{a + b}$。
（2）首先，$m$个人完成某项工程需要$a$天，所以总工作量可以表示为$ma$（人数乘以天数）。
然后，假设$(m + n)$个人完成此项工程需要的天数为$d$天，由于总工作量不变，所以有：
$(m + n)d = ma$，
解这个方程，得到：
$d = \frac{ma}{m + n}$。
$S = \frac{1}{2}(a + b)h$，
解这个方程，得到：
$h = \frac{2S}{a + b}$。
（2）首先，$m$个人完成某项工程需要$a$天，所以总工作量可以表示为$ma$（人数乘以天数）。
然后，假设$(m + n)$个人完成此项工程需要的天数为$d$天，由于总工作量不变，所以有：
$(m + n)d = ma$，
解这个方程，得到：
$d = \frac{ma}{m + n}$。
6. 已知分式$\frac{x + a}{x + b}$，当$x = -2$时，分式的值为0；当$x = -1$时，分式无意义。试求$\frac{a - b}{a + b}$的值。
答案
根据题意：
当$x = -2$时，分式$\frac{x + a}{x + b}$的值为0，
所以分子为0，即：
$-2 + a = 0$，
解得：
$a = 2$。
当$x = -1$时，分式无意义，即分母为0，所以：
$-1 + b = 0$
解得：
$b = 1$
将$a = 2$和$b = 1$代入$\frac{a - b}{a + b}$，得：
$\frac{a - b}{a + b} = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$。
所以，$\frac{a - b}{a + b}$的值为$\frac{1}{3}$。
当$x = -2$时，分式$\frac{x + a}{x + b}$的值为0，
所以分子为0，即：
$-2 + a = 0$，
解得：
$a = 2$。
当$x = -1$时，分式无意义，即分母为0，所以：
$-1 + b = 0$
解得：
$b = 1$
将$a = 2$和$b = 1$代入$\frac{a - b}{a + b}$，得：
$\frac{a - b}{a + b} = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$。
所以，$\frac{a - b}{a + b}$的值为$\frac{1}{3}$。
7. 提升题 已知分式$\frac{|x| - 3}{(x + 3)(x - 4)}$。
（1）当$x = 2$时，求分式的值。
（2）当$x$为何值时，分式有意义？
（3）当$x$为何值时，分式的值为0？
（1）当$x = 2$时，求分式的值。
（2）当$x$为何值时，分式有意义？
（3）当$x$为何值时，分式的值为0？
答案
（1）当$x=2$时，分子为$|2| - 3 = 2 - 3 = -1$，分母为$(2 + 3)(2 - 4) = 5×(-2) = -10$，分式的值为$\frac{-1}{-10} = \frac{1}{10}$。
（2）要使分式有意义，分母不为$0$，即$(x + 3)(x - 4) ≠ 0$，解得$x ≠ -3$且$x ≠ 4$。
（3）要使分式的值为$0$，分子为$0$且分母不为$0$。分子$|x| - 3 = 0$，解得$x = ±3$。当$x = 3$时，分母$(3 + 3)(3 - 4) = 6×(-1) = -6 ≠ 0$；当$x = -3$时，分母$(-3 + 3)(-3 - 4) = 0×(-7) = 0$，舍去。所以$x = 3$。
（2）要使分式有意义，分母不为$0$，即$(x + 3)(x - 4) ≠ 0$，解得$x ≠ -3$且$x ≠ 4$。
（3）要使分式的值为$0$，分子为$0$且分母不为$0$。分子$|x| - 3 = 0$，解得$x = ±3$。当$x = 3$时，分母$(3 + 3)(3 - 4) = 6×(-1) = -6 ≠ 0$；当$x = -3$时，分母$(-3 + 3)(-3 - 4) = 0×(-7) = 0$，舍去。所以$x = 3$。
