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把 $4x^{2}-16$ 分解因式，说一说在分解的过程中你用到了哪几种方法。
答案
先提取公因式$4$：
$4x^{2} - 16 = 4(x^{2} - 4)$
再用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$继续分解（其中$a = x，b = 2$），
$4(x^{2} - 4) = 4(x + 2)(x - 2)$
在分解的过程中用到了提取公因式法和公式法。
综上所述，$4x^{2} - 16=4(x + 2)(x - 2)$。
$4x^{2} - 16 = 4(x^{2} - 4)$
再用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$继续分解（其中$a = x，b = 2$），
$4(x^{2} - 4) = 4(x + 2)(x - 2)$
在分解的过程中用到了提取公因式法和公式法。
综上所述，$4x^{2} - 16=4(x + 2)(x - 2)$。
例 把下列各式分解因式：
(1) $3x^{2}-\frac{1}{3}$；
(2) $-2a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b$；
(3) $24a(a - b)^{2}-18(a - b)^{3}$；
(4) $(x^{2}-x)^{2}-(x - 1)^{2}$。
(1) $3x^{2}-\frac{1}{3}$；
(2) $-2a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b$；
(3) $24a(a - b)^{2}-18(a - b)^{3}$；
(4) $(x^{2}-x)^{2}-(x - 1)^{2}$。
答案
(1) $3x^{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}(9x^{2}-1)=\frac{1}{3}(3x+1)(3x-1)$
(2) $-2a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b=ab(a^{2}-2ab+b^{2})=ab(a-b)^{2}$
(3) $24a(a - b)^{2}-18(a - b)^{3}=6(a-b)^{2}[4a-3(a-b)]=6(a-b)^{2}(a+3b)$
(4) $(x^{2}-x)^{2}-(x - 1)^{2}=(x^{2}-x+x-1)(x^{2}-x-x+1)=(x^{2}-1)(x^{2}-2x+1)=(x+1)(x-1)^{3}$
(2) $-2a^{2}b^{2}+ab^{3}+a^{3}b=ab(a^{2}-2ab+b^{2})=ab(a-b)^{2}$
(3) $24a(a - b)^{2}-18(a - b)^{3}=6(a-b)^{2}[4a-3(a-b)]=6(a-b)^{2}(a+3b)$
(4) $(x^{2}-x)^{2}-(x - 1)^{2}=(x^{2}-x+x-1)(x^{2}-x-x+1)=(x^{2}-1)(x^{2}-2x+1)=(x+1)(x-1)^{3}$
(1) 将 $5x(a + b)-y(b + a)$ 用提公因式法分解因式，应提取的公因式是()。
A.$5x - y$
B.$5(b + a)$
C.$a + b$
D.$5x + y$
A.$5x - y$
B.$5(b + a)$
C.$a + b$
D.$5x + y$
答案
C
解析
观察多项式$5x(a + b)-y(b + a)$，发现$(b + a)$与$(a + b)$是相同的，所以公因式为$(a + b)$。提取公因式$(a + b)$后得到$(a + b)(5x - y)$，故应提取的公因式是$a + b$。
(2) 把 $x^{3}y - 4xy^{3}$ 分解因式，正确的结果是()。
A.$x(x^{2}y - 4y^{3})$
B.$xy(x^{2}-4y^{2})$
C.$xy(x + 4y)(x - 4y)$
D.$xy(x + 2y)(x - 2y)$
A.$x(x^{2}y - 4y^{3})$
B.$xy(x^{2}-4y^{2})$
C.$xy(x + 4y)(x - 4y)$
D.$xy(x + 2y)(x - 2y)$
答案
D
解析
首先提取公因式$xy$，得到：$x^{3}y - 4xy^{3} = xy(x^{2} - 4y^{2})$，
观察括号内的式子，它是一个平方差形式，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，应用这一公式，其中$a = x, b = 2y$，得到：$xy(x^{2} - 4y^{2}) = xy(x + 2y)(x - 2y)$。
观察括号内的式子，它是一个平方差形式，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，应用这一公式，其中$a = x, b = 2y$，得到：$xy(x^{2} - 4y^{2}) = xy(x + 2y)(x - 2y)$。
2. 把下列各式分解因式：
(1) $x^{3}-x$；
(2) $2a^{2}-\frac{1}{8}b^{2}$；
(3) $a^{3}+4a^{2}b + 4ab^{2}$；
(4) $a^{2}(x - y)+b^{2}(y - x)$。
(1) $x^{3}-x$；
(2) $2a^{2}-\frac{1}{8}b^{2}$；
(3) $a^{3}+4a^{2}b + 4ab^{2}$；
(4) $a^{2}(x - y)+b^{2}(y - x)$。
答案
(1)答案填：$x(x + 1)(x - 1)$
(2)答案填：$2(a+\frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$
(3)答案填：$a(a + 2b)^{2}$
(4)答案填：$(x - y)(a + b)(a - b)$
(2)答案填：$2(a+\frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$
(3)答案填：$a(a + 2b)^{2}$
(4)答案填：$(x - y)(a + b)(a - b)$
解析
(1) $x^{3}-x$
提取公因式$x$得：$x^{3}-x = x(x^{2}-1)$，
再利用平方差公式$a^{2} - b^{2}=(a + b)(a - b)$对$x^{2}-1$进行分解得：$x(x^{2}-1)=x(x + 1)(x - 1)$。
(2) $2a^{2}-\frac{1}{8}b^{2}$
先提取公因式$\frac{1}{8}×16 = 2×\frac{1}{8}=\frac{1}{4}×2$（这里转化为$(\sqrt{2}a)^{2}-(\frac{1}{4}b)^{2}$的形式），即：
$2a^{2}-\frac{1}{8}b^{2}=2(a^{2}-\frac{1}{16}b^{2})$，
再利用平方差公式得：$2(a^{2}-\frac{1}{16}b^{2}) = 2(a+\frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$。
(3) $a^{3}+4a^{2}b + 4ab^{2}$
先提取公因式$a$得：$a^{3}+4a^{2}b + 4ab^{2}=a(a^{2}+4ab + 4b^{2})$，
再利用完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$对$a^{2}+4ab + 4b^{2}$进行分解得：$a(a^{2}+4ab + 4b^{2})=a(a + 2b)^{2}$。
(4) $a^{2}(x - y)+b^{2}(y - x)$
先将式子变形为$a^{2}(x - y)-b^{2}(x - y)$，
然后提取公因式$(x - y)$得：$a^{2}(x - y)-b^{2}(x - y)=(x - y)(a^{2}-b^{2})$，
再利用平方差公式对$a^{2}-b^{2}$进行分解得：$(x - y)(a^{2}-b^{2})=(x - y)(a + b)(a - b)$。
提取公因式$x$得：$x^{3}-x = x(x^{2}-1)$，
再利用平方差公式$a^{2} - b^{2}=(a + b)(a - b)$对$x^{2}-1$进行分解得：$x(x^{2}-1)=x(x + 1)(x - 1)$。
(2) $2a^{2}-\frac{1}{8}b^{2}$
先提取公因式$\frac{1}{8}×16 = 2×\frac{1}{8}=\frac{1}{4}×2$（这里转化为$(\sqrt{2}a)^{2}-(\frac{1}{4}b)^{2}$的形式），即：
$2a^{2}-\frac{1}{8}b^{2}=2(a^{2}-\frac{1}{16}b^{2})$，
再利用平方差公式得：$2(a^{2}-\frac{1}{16}b^{2}) = 2(a+\frac{1}{4}b)(a - \frac{1}{4}b)$。
(3) $a^{3}+4a^{2}b + 4ab^{2}$
先提取公因式$a$得：$a^{3}+4a^{2}b + 4ab^{2}=a(a^{2}+4ab + 4b^{2})$，
再利用完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$对$a^{2}+4ab + 4b^{2}$进行分解得：$a(a^{2}+4ab + 4b^{2})=a(a + 2b)^{2}$。
(4) $a^{2}(x - y)+b^{2}(y - x)$
先将式子变形为$a^{2}(x - y)-b^{2}(x - y)$，
然后提取公因式$(x - y)$得：$a^{2}(x - y)-b^{2}(x - y)=(x - y)(a^{2}-b^{2})$，
再利用平方差公式对$a^{2}-b^{2}$进行分解得：$(x - y)(a^{2}-b^{2})=(x - y)(a + b)(a - b)$。
