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11. 小明听了《曹冲称象》的故事后,利用所学知识制作了如图甲所示的“水秤”模型,可方便地称量物体的质量,其构造如图所示。已知透明大桶足够深,小筒的高度为$H=0.2\ \mathrm{m}$,底面积为$S=0.02\ \mathrm{m}^{2}$,小筒和秤盘总重为2 N。(小筒壁的厚度可忽略不计。$g$取10 N/kg,$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$)
(1)如图甲所示,当秤盘上不放物体时,小筒受到的浮力为多大?
(2)该浮力秤的零刻度线应标在小筒上的何处,即A点距小筒底部的距离是多少?
(3)如图乙所示,在秤盘上放物体后,就可以称量物体所受的重力,则该“水秤”模型能称量的最大物重为多少?
(1)如图甲所示,当秤盘上不放物体时,小筒受到的浮力为多大?
(2)该浮力秤的零刻度线应标在小筒上的何处,即A点距小筒底部的距离是多少?
(3)如图乙所示,在秤盘上放物体后,就可以称量物体所受的重力,则该“水秤”模型能称量的最大物重为多少?
答案
(1) 解：$F_{浮}=G_{总}=2\ \mathrm {N}$
(2) 解：由$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}$得$V_{排}=\frac {F_{浮}}{ρ_{水}g}=\frac {2\ \mathrm {N}}{1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}}=2×10^{-4}\ \mathrm {m^3}$
$ h=\frac {V_{排}}{S}=\frac {2×10^{-4}\ \mathrm {m^3}}{0.02\ \mathrm {m^2}}=0.01\ \mathrm {m}$
(3) 解：$V_{排}'=SH=0.02\ \mathrm {m^2}×0.2\ \mathrm {m}=4×10^{-3}\ \mathrm {m^3}$
$ F_{浮}'=ρ_{水}gV_{排}'=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×4×10^{-3}\ \mathrm {m^3}=40\ \mathrm {N}$
$ G_{物}=F_{浮}'-G_{总}=40\ \mathrm {N}-2\ \mathrm {N}=38\ \mathrm {N}$
解析
【分析】
1. 第(1)问：当秤盘上不放物体时，小筒处于漂浮状态，根据物体的漂浮条件，漂浮时浮力等于物体的总重力，由此可直接求出小筒受到的浮力。
2. 第(2)问：零刻度线对应不放物体时小筒浸入水中的深度。先利用阿基米德原理的变形公式求出排开水的体积，再根据柱体体积公式$V=Sh$的变形公式$h=\frac{V}{S}$计算出浸入深度，该深度即为A点距小筒底部的距离。
3. 第(3)问：当小筒完全浸没在水中时，排开水的体积等于小筒的容积，此时浮力最大，能称量的物重最大。先计算出小筒的总体积，再利用阿基米德原理求出最大浮力，最后根据漂浮条件，最大物重等于最大浮力减去小筒和秤盘的总重力。
【解析】
(1) 当秤盘上不放物体时，小筒漂浮，根据物体漂浮条件：
$F_{浮}=G_{总}=2\ \mathrm{N}$
(2) 由阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$可得，排开水的体积：
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{2\ \mathrm{N}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}×10\ \mathrm{N/kg}}=2×10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}$
根据柱体体积公式$V=Sh$，可得A点距小筒底部的距离：
$h=\frac{V_{排}}{S}=\frac{2×10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}}{0.02\ \mathrm{m^{2}}}=0.01\ \mathrm{m}$
(3) 当小筒完全浸没时，排开水的最大体积：
$V_{排}'=SH=0.02\ \mathrm{m^{2}}×0.2\ \mathrm{m}=4×10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$
此时受到的最大浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}×10\ \mathrm{N/kg}×4×10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}=40\ \mathrm{N}$
根据漂浮条件，能称量的最大物重：
$G_{物}=F_{浮}'-G_{总}=40\ \mathrm{N}-2\ \mathrm{N}=38\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{0.01\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{38\ \mathrm{N}}$
【知识点】
物体漂浮条件、阿基米德原理、柱体体积公式
【点评】
本题结合“水秤”模型，考查了物体漂浮条件和阿基米德原理的综合应用，解题的关键是明确不同状态下排开水的体积与小筒浸入深度的关系，以及最大浮力对应的状态。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：当秤盘上不放物体时，小筒处于漂浮状态，根据物体的漂浮条件，漂浮时浮力等于物体的总重力，由此可直接求出小筒受到的浮力。
2. 第(2)问：零刻度线对应不放物体时小筒浸入水中的深度。先利用阿基米德原理的变形公式求出排开水的体积，再根据柱体体积公式$V=Sh$的变形公式$h=\frac{V}{S}$计算出浸入深度，该深度即为A点距小筒底部的距离。
3. 第(3)问：当小筒完全浸没在水中时，排开水的体积等于小筒的容积，此时浮力最大，能称量的物重最大。先计算出小筒的总体积，再利用阿基米德原理求出最大浮力，最后根据漂浮条件，最大物重等于最大浮力减去小筒和秤盘的总重力。
【解析】
(1) 当秤盘上不放物体时，小筒漂浮，根据物体漂浮条件：
$F_{浮}=G_{总}=2\ \mathrm{N}$
(2) 由阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$可得，排开水的体积：
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{2\ \mathrm{N}}{1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}×10\ \mathrm{N/kg}}=2×10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}$
根据柱体体积公式$V=Sh$，可得A点距小筒底部的距离：
$h=\frac{V_{排}}{S}=\frac{2×10^{-4}\ \mathrm{m^{3}}}{0.02\ \mathrm{m^{2}}}=0.01\ \mathrm{m}$
(3) 当小筒完全浸没时，排开水的最大体积：
$V_{排}'=SH=0.02\ \mathrm{m^{2}}×0.2\ \mathrm{m}=4×10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}$
此时受到的最大浮力：
$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m^{3}}×10\ \mathrm{N/kg}×4×10^{-3}\ \mathrm{m^{3}}=40\ \mathrm{N}$
根据漂浮条件，能称量的最大物重：
$G_{物}=F_{浮}'-G_{总}=40\ \mathrm{N}-2\ \mathrm{N}=38\ \mathrm{N}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\ \mathrm{N}}$
(2) $\boldsymbol{0.01\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{38\ \mathrm{N}}$
【知识点】
物体漂浮条件、阿基米德原理、柱体体积公式
【点评】
本题结合“水秤”模型，考查了物体漂浮条件和阿基米德原理的综合应用，解题的关键是明确不同状态下排开水的体积与小筒浸入深度的关系，以及最大浮力对应的状态。
【难度系数】
0.6
