1. 已知半径为 3 的$\odot O$上一点 P 和$\odot O$外一点 Q,若$OQ= 5$,$PQ= 4$,则( )

A.直线 PQ 与$\odot O$相交
B.直线 PQ 与$\odot O$相切
C.直线 PQ 与$\odot O$相离
D.直线 PQ 与$\odot O$的位置关系不确定

B

连接OP，
∵$\odot O$的半径为3，
∴$OP=3$，
∵$OQ=5$，$PQ=4$，
∴$OP^2+PQ^2=3^2+4^2=9+16=25=5^2=OQ^2$，
∴$\triangle OPQ$是直角三角形，且$\angle OPQ=90°$，
∴$OP\perp PQ$，
∵OP是$\odot O$的半径，
∴直线PQ与$\odot O$相切。
B

2. 如图,以点 O 为圆心作圆,所得的圆与直线 a 相切的是( )

A.以 OA 为半径的圆
B.以 OB 为半径的圆
C.以 OC 为半径的圆
D.以 OD 为半径的圆

D

3. 如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,则点 B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )

A.点$(0,3)$
B.点$(2,3)$
C.点$(5,1)$
D.点$(6,1)$

C

解：设圆弧所在圆的圆心为$(a,b)$，半径为$r$。
由图知$A(1,2)$，$B(3,2)$，$C(4,1)$，则：
$\begin{cases}(1 - a)^2 + (2 - b)^2 = r^2 \\(3 - a)^2 + (2 - b)^2 = r^2 \\(4 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2\end{cases}$
由前两式得$(1 - a)^2 = (3 - a)^2$，解得$a = 2$。
将$a = 2$代入后两式：$(3 - 2)^2 + (2 - b)^2 = (4 - 2)^2 + (1 - b)^2$，
即$1 + (2 - b)^2 = 4 + (1 - b)^2$，解得$b = 0$。
圆心为$(2,0)$，半径$r = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{5}$。
圆心与$B$连线斜率$k_{OB} = \frac{2 - 0}{3 - 2} = 2$，切线斜率为$-\frac{1}{2}$。
设切线上点$(x,y)$，则$\frac{y - 2}{x - 3} = -\frac{1}{2}$，即$x + 2y = 9$。
检验选项：$5 + 2×1 = 7≠9$（原解析有误，应为$5 + 2×1=7$，正确计算应为点$(5,1)$代入得$\frac{1 - 2}{5 - 3}=-\frac{1}{2}$，斜率符合）。
C

4. 如图,已知$\odot O$的半径为 5,直线 EF 经过$\odot O$上一点 P(点 E,F 在点 P 的两旁),下列条件能判定直线 EF 与$\odot O$相切的是( )


A.$OP= 5$
B.$OE= OF$
C.O 到直线 EF 的距离是 4
D.$OP\perp EF$

D

证明：
∵点$P$在$\odot O$上，$OP$为半径，
若$OP\perp EF$，则直线$EF$与$\odot O$相切（切线的判定定理）。
选项A：$OP=5$仅说明$P$在圆上，不能判定相切；
选项B：$OE=OF$只能说明$O$在$EF$的垂直平分线上，与相切无关；
选项C：$O$到$EF$的距离为$4\lt5$，直线与圆相交；
选项D：$OP\perp EF$符合切线判定条件。
结论：D

5. 如图,AB 是$\odot O$的直径,BT 交$\odot O$于点 C,下列条件中不能判定直线 AT 是$\odot O$的切线的是( )

A.$AB= 4$,$AT= 3$,$BT= 5$
B.$\angle B= 45°$,$AB= AT$
C.$\angle B= 55°$,$\angle TAC= 55°$
D.$\angle ATC= \angle B$

D

证明：
选项A：
$\because AB=4$，$AT=3$，$BT=5$，
$\therefore AB^2+AT^2=4^2+3^2=25=BT^2$，
$\therefore \angle BAT=90°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore AT$是$\odot O$的切线。
选项B：
$\because AB=AT$，$\angle B=45°$，
$\therefore \angle T=\angle B=45°$，
$\therefore \angle BAT=180°-45°-45°=90°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore AT$是$\odot O$的切线。
选项C：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle BCA=90°$，
$\therefore \angle BAC=90°-\angle B=90°-55°=35°$，
$\because \angle TAC=55°$，
$\therefore \angle BAT=\angle BAC+\angle TAC=35°+55°=90°$，
$\therefore AT$是$\odot O$的切线。
选项D：
$\angle ATC=\angle B$，无法直接推出$\angle BAT=90°$，
$\therefore$不能判定$AT$是$\odot O$的切线。
答案：D

6. 下列说法:①与圆有公共点的直线.②垂直于圆的半径的直线.③过圆直径外端点的直线.④过圆直径外端点且垂直于此直径的直线.其中是圆的切线的是______.

④

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90°$,D 为 BC 的中点,O 是线段 AD 上一点,以点 O 为圆心,OA 长为半径的$\odot O$交 AC 于点 E,$EF\perp BC$于点 F,则 EF______$\odot O$的切线.(填“是”或“不是”)

是 【解析】连结OE,如图所示.
∵∠BAC=90°,D 为 BC 的中点,
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=CD,

∴∠C=∠DAC.
∵OA=OE,
∴∠DAC=∠AEO,
∴∠C=∠AEO,
∴OE//BC.
∵EF⊥BC,
∴EF⊥OE,
∴EF 是$\odot O$的切线.