5. 小敏买了 $ x $ 支铅笔和 $ y $ 本练习本，其中铅笔每支是 $ 0.5 $ 元，练习本每本是 2 元，共用去 16 元.
（1）列出关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程；
（2）写出这个方程符合实际意义的所有解（铅笔与练习本均购买）.

（1）根据题意，得$0.5x + 2y = 16$，
化简得：$x + 4y = 32$。
（2）方程$x + 4y = 32$的所有符合实际意义的解（$x$,$y$均为正整数）为：
$\{ \begin{array}{l} x = 28, \\ y = 1. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 24, \\ y = 2. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 20, \\ y = 3. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 16, \\ y = 4. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 12, \\ y = 5. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 8, \\ y = 6. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 4, \\ y = 7. \end{array} $

【分析】
（1）解题思路：根据“总花费=铅笔的总价+练习本的总价”的等量关系列方程。先分别计算买铅笔和练习本的花费，铅笔总价为单价0.5元乘以数量x，即$0.5x$元；练习本总价为单价2元乘以数量y，即$2y$元，两者相加等于总花费16元，得到方程后再化简。
（2）解题思路：由于铅笔和练习本均购买，所以x、y都为正整数。先将化简后的方程变形为$x=32-4y$，根据$x＞0$求出y的取值范围，再结合y是正整数，依次代入y的可能值，算出对应的x值，得到所有符合实际意义的解。
【解析】
（1）根据题意，买铅笔的花费为$0.5x$元，买练习本的花费为$2y$元，总花费为16元，可列方程：
$0.5x + 2y = 16$
方程两边同时乘以2化简得：
$x + 4y = 32$
（2）由$x + 4y = 32$变形得$x = 32 - 4y$，
因为x、y均为正整数（铅笔与练习本均购买），所以：
$\begin{cases}x＞0 \\ y＞0\end{cases}$
即$\begin{cases}32 - 4y＞0 \\ y＞0\end{cases}$
解不等式$32 - 4y＞0$，得$y＜8$，
结合y是正整数，可知y的取值为1、2、3、4、5、6、7。
将y的取值依次代入$x = 32 - 4y$，得到对应的x值：
当$y=1$时，$x=32-4×1=28$；
当$y=2$时，$x=32-4×2=24$；
当$y=3$时，$x=32-4×3=20$；
当$y=4$时，$x=32-4×4=16$；
当$y=5$时，$x=32-4×5=12$；
当$y=6$时，$x=32-4×6=8$；
当$y=7$时，$x=32-4×7=4$；
因此方程符合实际意义的所有解为：
$\{ \begin{array}{l} x = 28, \\ y = 1. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 24, \\ y = 2. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 20, \\ y = 3. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 16, \\ y = 4. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 12, \\ y = 5. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 8, \\ y = 6. \end{array} $
$\{ \begin{array}{l} x = 4, \\ y = 7. \end{array} $
【答案】
（1）$x + 4y = 32$；
（2）$\{ \begin{array}{l} x = 28, \\ y = 1. \end{array} $，$\{ \begin{array}{l} x = 24, \\ y = 2. \end{array} $，$\{ \begin{array}{l} x = 20, \\ y = 3. \end{array} $，$\{ \begin{array}{l} x = 16, \\ y = 4. \end{array} $，$\{ \begin{array}{l} x = 12, \\ y = 5. \end{array} $，$\{ \begin{array}{l} x = 8, \\ y = 6. \end{array} $，$\{ \begin{array}{l} x = 4, \\ y = 7. \end{array} $
【知识点】
二元一次方程的列写；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题考查二元一次方程的实际应用，关键是根据题意准确列出方程，并结合实际意义（正整数）求解，需注意变量的取值范围要符合实际购买情况。
【难度系数】
0.6

6. 写出两个不同的二元一次方程，使得$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$分别是它们的一个解，并与同伴交流各自的结果.

$x + y = 3$；$2x - y = 0$（答案不唯一）

方程一
设方程为 $x + y = a$，将 $x=1$，$y=2$ 代入得 $1 + 2 = a$，即 $a=3$，
故方程为 $x + y = 3$。
方程二
设方程为 $2x - y = b$，将 $x=1$，$y=2$ 代入得 $2×1 - 2 = b$，即 $b=0$，
故方程为 $2x - y = 0$。

7. 有 8 名同学去郊游，途中计划用 20 元购买汽水和奶茶，其中汽水每杯是 2 元，奶茶每杯是 3 元.
（1）有几种购买方案？每种方案可买汽水和奶茶各多少杯？
（2）当奶茶至少买 2 杯，每人至少有 1 杯饮料时，有几种购买方案？

（1）设购买汽水$x$杯，奶茶$y$杯，根据题意得$2x + 3y = 20$（$x,y$为非负整数）。
解得$x = \frac{20 - 3y}{2}$，$y$需满足$20 - 3y$为非负偶数。
当$y=0$时，$x=10$；当$y=2$时，$x=7$；当$y=4$时，$x=4$；当$y=6$时，$x=1$。
共4种方案：
①汽水10杯，奶茶0杯；②汽水7杯，奶茶2杯；③汽水4杯，奶茶4杯；④汽水1杯，奶茶6杯。
（2）由题意得$y ≥ 2$且$x + y ≥ 8$。
结合（1）中方案：
当$y=2$时，$x=7$，$x + y=9 ≥ 8$，符合；
当$y=4$时，$x=4$，$x + y=8 ≥ 8$，符合；
当$y=6$时，$x=1$，$x + y=7 ＜ 8$，不符合。
共2种方案：
①汽水7杯，奶茶2杯；②汽水4杯，奶茶4杯。

【分析】
（1）先通过设未知数，根据总费用列出二元一次方程，再结合未知数为非负整数的限制条件，分析方程中$y$的可能取值，进而求出对应的$x$值，得到所有购买方案；
（2）在（1）的基础上，增加“奶茶至少买2杯”和“饮料总数满足每人至少1杯”的条件，筛选出同时符合这两个条件的方案即可。
【解析】
（1）设购买汽水$x$杯，奶茶$y$杯，根据题意得：
$2x + 3y = 20$（$x,y$为非负整数）
将方程变形为$x = \frac{20 - 3y}{2}$，由于$x$需为非负整数，因此$20 - 3y$需为非负偶数。
因为20是偶数，所以$3y$必须是偶数，即$y$为偶数，同时$20 - 3y ≥ 0$，解得$y ≤ \frac{20}{3} \approx 6.67$，则$y$的非负偶数值为0、2、4、6：
当$y=0$时，$x = \frac{20 - 0}{2} = 10$；
当$y=2$时，$x = \frac{20 - 6}{2} = 7$；
当$y=4$时，$x = \frac{20 - 12}{2} = 4$；
当$y=6$时，$x = \frac{20 - 18}{2} = 1$。
（2）根据题意，需满足$y ≥ 2$且$x + y ≥ 8$：
当$y=2$时，$x=7$，$x+y=9 ≥ 8$，符合条件；
当$y=4$时，$x=4$，$x+y=8 ≥ 8$，符合条件；
当$y=6$时，$x=1$，$x+y=7 ＜ 8$，不符合条件。
【答案】
（1）有4种购买方案：
方案①：购买汽水10杯，奶茶0杯；
方案②：购买汽水7杯，奶茶2杯；
方案③：购买汽水4杯，奶茶4杯；
方案④：购买汽水1杯，奶茶6杯。
（2）有2种购买方案：
方案①：购买汽水7杯，奶茶2杯；
方案②：购买汽水4杯，奶茶4杯。
【知识点】
二元一次方程整数解应用、不等式组实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程的整数解及不等式的实际应用，解题关键是根据实际问题确定未知数的取值范围，通过分类讨论列举出所有符合条件的方案，培养分析问题和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6