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3. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}ax - by = 4,\\ax + by = 2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}$求$2a - 3b$的值.
答案
将$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax - by = 4,\\ax + by = 2\end{cases}$中，得到：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad (1),\\2a + b = 2 \quad (2)\end{cases}$
将(1)和(2)两式相加，得到：
$4a = 6$，
解得：
$a = \frac{3}{2}$。
将$a = \frac{3}{2}$代入(1)式，得到：
$3 - b = 4$，
解得：
$b = -1$。
所以$2a - 3b = 2 × \frac{3}{2} - 3 × ( - 1) = 6$。
所以$2a - 3b$的值为6。
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad (1),\\2a + b = 2 \quad (2)\end{cases}$
将(1)和(2)两式相加，得到：
$4a = 6$，
解得：
$a = \frac{3}{2}$。
将$a = \frac{3}{2}$代入(1)式，得到：
$3 - b = 4$，
解得：
$b = -1$。
所以$2a - 3b = 2 × \frac{3}{2} - 3 × ( - 1) = 6$。
所以$2a - 3b$的值为6。
解析
【分析】
首先要明确方程组的解的定义：方程组的解能使方程组中的每个方程都成立。因此我们可以把已知的解$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$代入原方程组，得到关于$a$和$b$的二元一次方程组。接下来通过加减消元法解这个新方程组，求出$a$和$b$的值，最后将$a$、$b$的值代入代数式$2a - 3b$中，计算出最终结果。
【解析】
将$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax - by = 4,\\ax + by = 2\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad (1)\\2a + b = 2 \quad (2)\end{cases}$
(1)+(2)得：$4a = 6$
解得：$a = \frac{3}{2}$
把$a = \frac{3}{2}$代入(1)式：$2×\frac{3}{2} - b = 4$，即$3 - b = 4$
解得：$b = -1$
将$a = \frac{3}{2}$，$b = -1$代入$2a - 3b$：
$2a - 3b = 2×\frac{3}{2} - 3×(-1) = 3 + 3 = 6$
【答案】
6
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 解二元一次方程组
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查了二元一次方程组的解的定义、二元一次方程组的解法以及代数式求值。解题关键是利用方程组解的定义构建关于$a$、$b$的方程组，再通过加减消元法求出$a$、$b$的值，最后代入计算即可，整体思路清晰，需要学生熟练掌握相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
首先要明确方程组的解的定义：方程组的解能使方程组中的每个方程都成立。因此我们可以把已知的解$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$代入原方程组，得到关于$a$和$b$的二元一次方程组。接下来通过加减消元法解这个新方程组，求出$a$和$b$的值，最后将$a$、$b$的值代入代数式$2a - 3b$中，计算出最终结果。
【解析】
将$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}ax - by = 4,\\ax + by = 2\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a - b = 4 \quad (1)\\2a + b = 2 \quad (2)\end{cases}$
(1)+(2)得：$4a = 6$
解得：$a = \frac{3}{2}$
把$a = \frac{3}{2}$代入(1)式：$2×\frac{3}{2} - b = 4$，即$3 - b = 4$
解得：$b = -1$
将$a = \frac{3}{2}$，$b = -1$代入$2a - 3b$：
$2a - 3b = 2×\frac{3}{2} - 3×(-1) = 3 + 3 = 6$
【答案】
6
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 解二元一次方程组
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查了二元一次方程组的解的定义、二元一次方程组的解法以及代数式求值。解题关键是利用方程组解的定义构建关于$a$、$b$的方程组，再通过加减消元法求出$a$、$b$的值，最后代入计算即可，整体思路清晰，需要学生熟练掌握相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
4. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = m,\\2x + y = 1\end{cases}$的解也是方程$x + y = 3$的解，求$m$的值.
答案
由方程组$\begin{cases}x + 2y = m, \quad ① \\2x + y = 1. \quad ②\end{cases}$
将方程$①$和方程$②$相加，得到：
$3x + 3y = m + 1$，
从上式，可以得到：
$x + y = \frac{m + 1}{3} \quad ③$，
又因为$x + y = 3$，将此式代入$③$中，得到：
$\frac{m + 1}{3} = 3$，
解这个方程，得到：
$m = 8$，
所以$m$的值为8。
将方程$①$和方程$②$相加，得到：
$3x + 3y = m + 1$，
从上式，可以得到：
$x + y = \frac{m + 1}{3} \quad ③$，
又因为$x + y = 3$，将此式代入$③$中，得到：
$\frac{m + 1}{3} = 3$，
解这个方程，得到：
$m = 8$，
所以$m$的值为8。
解析
【分析】
首先，题目表明原方程组的解同时满足方程$x+y=3$，说明这三个方程有共同的解。观察原方程组的两个方程，发现将它们相加可直接得到$x+y$与$m$的关系式，无需单独求解$x$、$y$的具体值，能快速建立与已知方程$x+y=3$的联系，进而求出$m$。具体思路为：先把原方程组的两个方程相加并化简得到$x+y=\frac{m+1}{3}$，再将$x+y=3$代入该式，得到关于$m$的一元一次方程，最后解此方程即可得到$m$的值。
【解析】
已知方程组$\begin{cases}x + 2y = m, \quad ① \\2x + y = 1. \quad ②\end{cases}$
1. 将方程①和方程②相加：
$x + 2y + 2x + y = m + 1$
合并同类项得：$3x + 3y = m + 1$
2. 两边同时除以3，变形为：
$x + y = \frac{m + 1}{3} \quad ③$
3. 因为方程组的解也是方程$x + y = 3$的解，将$x + y = 3$代入③式：
$\frac{m + 1}{3} = 3$
4. 解上述一元一次方程：
两边同时乘以3得：$m + 1 = 9$
移项计算得：$m = 8$
【答案】
$m=8$
【知识点】
二元一次方程组的解法、方程解的定义
【点评】
本题考查了二元一次方程组解的应用，解题关键在于灵活运用方程组的变形技巧，通过相加原方程组的两个方程简化计算，避免了求解$x$、$y$的繁琐步骤，侧重考查学生对同解方程组概念的理解和运算的简便性思维。
【难度系数】
0.8
首先，题目表明原方程组的解同时满足方程$x+y=3$，说明这三个方程有共同的解。观察原方程组的两个方程，发现将它们相加可直接得到$x+y$与$m$的关系式，无需单独求解$x$、$y$的具体值，能快速建立与已知方程$x+y=3$的联系，进而求出$m$。具体思路为：先把原方程组的两个方程相加并化简得到$x+y=\frac{m+1}{3}$，再将$x+y=3$代入该式，得到关于$m$的一元一次方程，最后解此方程即可得到$m$的值。
【解析】
已知方程组$\begin{cases}x + 2y = m, \quad ① \\2x + y = 1. \quad ②\end{cases}$
1. 将方程①和方程②相加：
$x + 2y + 2x + y = m + 1$
合并同类项得：$3x + 3y = m + 1$
2. 两边同时除以3，变形为：
$x + y = \frac{m + 1}{3} \quad ③$
3. 因为方程组的解也是方程$x + y = 3$的解，将$x + y = 3$代入③式：
$\frac{m + 1}{3} = 3$
4. 解上述一元一次方程：
两边同时乘以3得：$m + 1 = 9$
移项计算得：$m = 8$
【答案】
$m=8$
【知识点】
二元一次方程组的解法、方程解的定义
【点评】
本题考查了二元一次方程组解的应用，解题关键在于灵活运用方程组的变形技巧，通过相加原方程组的两个方程简化计算，避免了求解$x$、$y$的繁琐步骤，侧重考查学生对同解方程组概念的理解和运算的简便性思维。
【难度系数】
0.8
5. 当$x = -1$时，代数式$x^2 + px + q$的值是$-5$；当$x = 3$时，代数式$x^2 + px + q$的值是$3$.$p$，$q$的值分别是多少？
答案
根据题意，得
$\begin{cases}1 - p + q = - 5, \\9 + 3p + q = 3.\end{cases}$
由$1 - p + q = - 5$，可得$q= p-6$，代入$9 + 3p + q = 3$，
可得：
$9 + 3p + p-6 = 3$，
$4p+3=3$，
$4p=0$，
解得$p = 0$，
$q= 0-6= -6$，
所以$\begin{cases}p = 0, \\q = -6.\end{cases}$
$\begin{cases}1 - p + q = - 5, \\9 + 3p + q = 3.\end{cases}$
由$1 - p + q = - 5$，可得$q= p-6$，代入$9 + 3p + q = 3$，
可得：
$9 + 3p + p-6 = 3$，
$4p+3=3$，
$4p=0$，
解得$p = 0$，
$q= 0-6= -6$，
所以$\begin{cases}p = 0, \\q = -6.\end{cases}$
解析
【分析】
首先，我们需要根据题目给出的x的取值和对应的代数式的值，列出关于p、q的二元一次方程组。当x=-1时，将其代入代数式$x^2+px+q$，计算后等于-5，得到第一个方程；当x=3时，代入代数式得到第二个方程。接下来，利用代入消元法解这个二元一次方程组，先从一个方程中用含p的式子表示q，再代入另一个方程求出p的值，最后求出q的值即可。
【解析】
根据题意，将x的取值代入代数式，可得方程组：
$\begin{cases}1 - p + q = - 5, \\9 + 3p + q = 3.\end{cases}$
由第一个方程$1 - p + q = - 5$，移项可得$q = p - 6$。
将$q = p - 6$代入第二个方程$9 + 3p + q = 3$中，可得：
$9 + 3p + p - 6 = 3$
化简得：
$4p + 3 = 3$
移项得：
$4p = 0$
解得：$p = 0$
将$p = 0$代入$q = p - 6$，可得：
$q = 0 - 6 = -6$
所以$\begin{cases}p = 0, \\q = -6.\end{cases}$
【答案】
$p = 0$，$q = -6$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题主要考查代数式求值与二元一次方程组的求解，解题关键是根据已知条件准确列出关于p、q的二元一次方程组，再利用代入消元法求解方程组，属于基础题型，需要熟练掌握代入消元法的解题步骤。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要根据题目给出的x的取值和对应的代数式的值，列出关于p、q的二元一次方程组。当x=-1时，将其代入代数式$x^2+px+q$，计算后等于-5，得到第一个方程；当x=3时，代入代数式得到第二个方程。接下来，利用代入消元法解这个二元一次方程组，先从一个方程中用含p的式子表示q，再代入另一个方程求出p的值，最后求出q的值即可。
【解析】
根据题意，将x的取值代入代数式，可得方程组：
$\begin{cases}1 - p + q = - 5, \\9 + 3p + q = 3.\end{cases}$
由第一个方程$1 - p + q = - 5$，移项可得$q = p - 6$。
将$q = p - 6$代入第二个方程$9 + 3p + q = 3$中，可得：
$9 + 3p + p - 6 = 3$
化简得：
$4p + 3 = 3$
移项得：
$4p = 0$
解得：$p = 0$
将$p = 0$代入$q = p - 6$，可得：
$q = 0 - 6 = -6$
所以$\begin{cases}p = 0, \\q = -6.\end{cases}$
【答案】
$p = 0$，$q = -6$
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题主要考查代数式求值与二元一次方程组的求解，解题关键是根据已知条件准确列出关于p、q的二元一次方程组，再利用代入消元法求解方程组，属于基础题型，需要熟练掌握代入消元法的解题步骤。
【难度系数】
0.8
