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1. 如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形.若$AB = 10$，$AE = 8$，则正方形$EFGH$的面积为.
答案
4
解析
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=6$。
因为四个直角三角形全等，所以正方形EFGH的边长为$AE - BE=8-6=2$，
则正方形EFGH的面积为$2^2=4$。
因为四个直角三角形全等，所以正方形EFGH的边长为$AE - BE=8-6=2$，
则正方形EFGH的面积为$2^2=4$。
2. 如图，在四边形$ABCD$中，$∠ ADC=∠ ABC = 90°$，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，$S_{4}$.若$S_{1}=2$，$S_{2}=4$，$S_{4}=11$，则$BC$的长为.
答案
3
解析
连接AC。
在Rt△ADC中，根据勾股定理：$AD^2 + DC^2 = AC^2$，
因为$S_1=AD^2=2$，$S_4=DC^2=11$，所以$AC^2=2+11=13$。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
因为$S_2=AB^2=4$，所以$BC^2=13-4=9$，则$BC=3$（边长为正）。
在Rt△ADC中，根据勾股定理：$AD^2 + DC^2 = AC^2$，
因为$S_1=AD^2=2$，$S_4=DC^2=11$，所以$AC^2=2+11=13$。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
因为$S_2=AB^2=4$，所以$BC^2=13-4=9$，则$BC=3$（边长为正）。
3. 在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后拼出了如图所示的图形.小明同学借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，点$C$，$D$，$E$在同一直线上，设$CE = a$，$HG = b$，则正方形$BDFA$的面积是.
答案
$\frac{a^2 + b^2}{2}$
解析
设全等直角三角形的较长直角边为$ m $，较短直角边为$ n $。
由题意得$ m + n = a $，$ m - n = b $。
分别平方得：$ (m + n)^2 = a^2 $，即$ m^2 + 2mn + n^2 = a^2 $；$ (m - n)^2 = b^2 $，即$ m^2 - 2mn + n^2 = b^2 $。
将两式相加：$ 2(m^2 + n^2) = a^2 + b^2 $，则$ m^2 + n^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} $。
根据勾股定理，正方形$ BDFA $的边长为直角三角形的斜边，其面积为斜边的平方，即$ m^2 + n^2 $，故正方形$ BDFA $的面积为$ \frac{a^2 + b^2}{2} $。
由题意得$ m + n = a $，$ m - n = b $。
分别平方得：$ (m + n)^2 = a^2 $，即$ m^2 + 2mn + n^2 = a^2 $；$ (m - n)^2 = b^2 $，即$ m^2 - 2mn + n^2 = b^2 $。
将两式相加：$ 2(m^2 + n^2) = a^2 + b^2 $，则$ m^2 + n^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} $。
根据勾股定理，正方形$ BDFA $的边长为直角三角形的斜边，其面积为斜边的平方，即$ m^2 + n^2 $，故正方形$ BDFA $的面积为$ \frac{a^2 + b^2}{2} $。
4. 在$△ ABC$中，$AB = 15$，$BC = 14$，$AC = 13$，求$△ ABC$的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路.请你按照他们的解题思路完成解答过程.
作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，设$BD = x$，用含$x$的代数式表示$CD$.根据勾股定理，利用$AD$作为“桥梁”，分别在$\mathrm{Rt}△ ABD$，$\mathrm{Rt}△ ACD$中用$AD$的长建立方程求出$x$，利用勾股定理求出$AD$的长，再计算$△ ABC$的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路.请你按照他们的解题思路完成解答过程.
作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，设$BD = x$，用含$x$的代数式表示$CD$.根据勾股定理，利用$AD$作为“桥梁”，分别在$\mathrm{Rt}△ ABD$，$\mathrm{Rt}△ ACD$中用$AD$的长建立方程求出$x$，利用勾股定理求出$AD$的长，再计算$△ ABC$的面积.
答案
解：
作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，设$BD = x$，则$CD = 14 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2 = 225 - x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - x)^2 = 169 - (196 - 28x + x^2) = -27 + 28x - x^2$。
因为$AD^2$的值相等，所以：
$225 - x^2 = -27 + 28x - x^2$，
化简得：$225 = -27 + 28x$，
解得：$x = 9$。
将$x = 9$代入$AD^2 = 225 - x^2$，得：
$AD^2 = 225 - 9^2 = 144$，
所以$AD = 12$（$AD＞0$）。
则$△ ABC$的面积为：
$\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×14×12 = 84$。
答：$△ ABC$的面积为84。
作$AD⊥ BC$，垂足为$D$，设$BD = x$，则$CD = 14 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2 = 225 - x^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14 - x)^2 = 169 - (196 - 28x + x^2) = -27 + 28x - x^2$。
因为$AD^2$的值相等，所以：
$225 - x^2 = -27 + 28x - x^2$，
化简得：$225 = -27 + 28x$，
解得：$x = 9$。
将$x = 9$代入$AD^2 = 225 - x^2$，得：
$AD^2 = 225 - 9^2 = 144$，
所以$AD = 12$（$AD＞0$）。
则$△ ABC$的面积为：
$\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×14×12 = 84$。
答：$△ ABC$的面积为84。
5. 已知平面内两点$P_{1}(x_{1},y_{1})$，$P_{2}(x_{2},y_{2})$间的距离$P_{1}P_{2}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.
(1) 已知点$A(2,3)$，$B(4,2)$，试求$A$，$B$两点间的距离.
(2) 已知一个三角形的各顶点坐标为$A(-2,1)$，$B(1,4)$，$C(0,5)$，求$△ ABC$的周长.
(1) 已知点$A(2,3)$，$B(4,2)$，试求$A$，$B$两点间的距离.
(2) 已知一个三角形的各顶点坐标为$A(-2,1)$，$B(1,4)$，$C(0,5)$，求$△ ABC$的周长.
答案
解：
(1) 已知点$A(2,3)$，$B(4,2)$，根据两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(4-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
(2) 分别计算$△ ABC$三边的长度：
$AB=\sqrt{[1-(-2)]^2+(4-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
$BC=\sqrt{(0-1)^2+(5-4)^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
$AC=\sqrt{[0-(-2)]^2+(5-1)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
$△ ABC$的周长为：
$AB+BC+AC=3\sqrt{2}+\sqrt{2}+2\sqrt{5}=4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
(1) 已知点$A(2,3)$，$B(4,2)$，根据两点间距离公式：
$AB=\sqrt{(4-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
(2) 分别计算$△ ABC$三边的长度：
$AB=\sqrt{[1-(-2)]^2+(4-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
$BC=\sqrt{(0-1)^2+(5-4)^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
$AC=\sqrt{[0-(-2)]^2+(5-1)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
$△ ABC$的周长为：
$AB+BC+AC=3\sqrt{2}+\sqrt{2}+2\sqrt{5}=4\sqrt{2}+2\sqrt{5}$
