10. 提升题 如图，在平面直角坐标系中，直线$y = x + b$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，与直线$y = ax + \frac{13}{2}$交于点$C(3,5)$. 直线$y = ax + \frac{13}{2}$与$x$轴交于点$D$. $P$是射线$DA$上的一个动点，且点$P$从点$D$出发以每秒$2$个单位长度的速度匀速运动. 设点$P$的运动时间为$t$ $s$.
（1）分别求两条直线的函数解析式；
（2）当$△ ACP$的面积为$15$时，求$t$的值.

（1）$ y = x + 2 $，$ y = -\frac{1}{2}x + \frac{13}{2} $；（2）$ t = \frac{9}{2} $或$ t = \frac{21}{2} $。

（1）将点$ C(3,5) $代入$ y = x + b $，得$ 5 = 3 + b $，解得$ b = 2 $，故直线$ y = x + b $的解析式为$ y = x + 2 $。
将点$ C(3,5) $代入$ y = ax + \frac{13}{2} $，得$ 5 = 3a + \frac{13}{2} $，解得$ a = -\frac{1}{2} $，故直线$ y = ax + \frac{13}{2} $的解析式为$ y = -\frac{1}{2}x + \frac{13}{2} $。
（2）对于$ y = x + 2 $，令$ y = 0 $，得$ x = -2 $，则$ A(-2,0) $。
对于$ y = -\frac{1}{2}x + \frac{13}{2} $，令$ y = 0 $，得$ x = 13 $，则$ D(13,0) $。
点$ P $在射线$ DA $上，从$ D $出发，速度为$ 2 $单位/秒，运动时间$ t $秒，故$ P(13 - 2t, 0) $。
$ △ ACP $的面积为$ 15 $，$ A(-2,0) $，$ C(3,5) $，$ P(13 - 2t, 0) $，底$ AP = |(13 - 2t) - (-2)| = |15 - 2t| $，高为$ C $到$ x $轴距离$ 5 $。
由面积公式得：$ \frac{1}{2} × |15 - 2t| × 5 = 15 $，即$ |15 - 2t| = 6 $。
解得$ 15 - 2t = 6 $或$ 15 - 2t = -6 $，即$ t = \frac{9}{2} $或$ t = \frac{21}{2} $。