8. 如图，在平面直角坐标系中有点$A(4,0)$、$B(0,2)$，若点$C$在$x$轴上(点$C$、点$A$不重合)，则当点$C$的坐标为时，由点$B$、$O$、$C$为顶点的三角形与$\triangle AOB$相似.

(-4，0)或(-1，0)
或(1，0)

9. 已知：如图，$AE^2 = AD · AB$，且$∠ABE = ∠ACB$.
试说明：(1)$\triangle ADE \backsim \triangle AEB$；
(2)$DE // BC$；
(3)$\triangle BCE \backsim \triangle EBD$.

(第8题)

证明：​ (1)​∵$​ AE^2=AD · AB​$
∴$​\frac {AE}{AB}=\frac {AD}{AE}​$
∵​∠A=∠A​
∴​△ADE∽△AEB​
​(2) ​∵​△ADE∽△AEB​
∴​∠AED=∠ABE​
∵​∠ABE= ∠ACB​
∴​∠AED=∠ACB​
∴​DE//BC​
​(3)​∵​DE//BC​
∴​∠CBE=∠BED​
∵​∠ABE=∠ACB​
∴​△BCE∽△EBD​

10. 已知：如图，$\triangle ABC$、$\triangle DCE$、$\triangle FEG$是3个全等的等腰三角形，底边$BC$、$CE$、$EG$在一条直线上，且$AB = \sqrt{3}$，$BC = 1$，$BF$分别交$AC$、$DC$、$DE$于点$P$、$Q$、$R$.
(1)$\triangle BFG$与$\triangle FEG$相似吗？请说明理由.
(2)求$BF$的长.
(3)观察图形，请你提出一个与点$P$相关的问题，并进行解答.

(第10题)

解：​(1)​相似，理由如下：
∵​△ABC、​​△DCE、​​△FEG​是​3​个全等的等腰三角形且$​AB=\sqrt 3，$​​BC=1​
∴$​FG=\sqrt 3，$​​EG=1，​​BG=3​
∴$​\frac {FG}{EG}=\frac {BG}{FG}=\sqrt 3​$
∵​∠G=∠G​
∴​△BFG∽△FEG​
​(2)​∵​△BFG∽△FEG​
∴$​\frac {BF}{BG}=\frac {FE}{FG}​$
∵​FE=FG​
∴​BF=BG=3​
​(3)​求​BP ​的长
∵​△ABC、​​△DCE、​​△FEG​是三个全等的等腰三角形
∴​∠ACB=∠G​
∴​AC//FG​
∴​△BCP∽△BGF​
∴$​\frac {BP}{BC}=\frac {BF}{BG}​$
∵​BF=BG​
∴​BP=BC=1​

11. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$在$BC$上，$AE$交$BD$于点$F$，且$BE^2 = EF · EA$. 试证明：$AB^2 = BF · BD$.

(第11题)

证明：∵$​BE^2=EF · EA​$
∴$​\frac {BE}{EF}=\frac {EA}{BE}​$
∵​∠BEF=∠AEB​
∴​△BEF∽△AEB​
∴​∠EBF=∠EAB​
∵四边形​ABCD​是平行四边形
∴​AD//BC​
∴​∠EBF=∠BDA​
∴​∠EAB=∠BDA ​
∵​∠ABD=∠FBA​
∴​△ABD∽△FBA​
∴$​\frac {AB}{BF}=\frac {BD}{AB}​$
∴$​AB^2= BF · BD​$