18. 将矩形ABCD绕点A按顺时针方向旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.
（1）如图，当点E在BD上时，连接DF. 求证：FD = CD.
（2）连接GC、GB，当α为多少时，GC = GB？请说明理由，并画出图形.

18.(1) ∵ 矩形AEFG是由矩形ABCD旋转得到的，∴ AE = AB = CD，∠AEF = ∠ABC = ∠DAB = 90°，FE = BC = AD.∴ ∠AEB = ∠ABE.∴ ∠ABE + ∠EDA = 90°，∠AEB + ∠DEF = 180° - ∠AEF = 90°.∴ ∠EDA = ∠DEF. 又 ∵ DE = ED，AD = FE，∴ $\triangle AED≌\triangle FDE$.∴ AE = FD.∴ FD = CD. (2) 当α = 60°或300°时，GC = GB. 理由:若GC = GB，则点G必在BC的垂直平分线上.分两种情况讨论:① 当点G在AD右侧时，如图①.设BC的垂直平分线GH交AD于点M，交BC于点H，连接DG.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ BC = AD，BC//AD，∠BCD = ∠ADC = 90°.∵ GH垂直平分BC，∴ ∠CHM = 90°，CH = $\frac{1}{2}BC$.∴ 四边形CHMD为矩形.∴ CH = DM，∠HMD = 90°.∴ 易得DM = $\frac{1}{2}AD$，GM⊥AD.∴ GM垂直平分AD.∴ AG = DG.由旋转的性质，得AD = AG，∴ AD = AG = DG.∴ $\triangle ADG$是等边三角形.∴ ∠DAG = 60°，即旋转角α = 60°.② 当点G在AD左侧时，如图②.设BC的垂直平分线GH交BC于点H，交AD于点M，连接DG.同理，可得\triangle ADG是等边三角形.∴ ∠DAG = 60°.∴ 旋转角α = 360° - 60° = 300°.综上所述，当α = 60°或300°时，GC = GB.

19. 如图①，在正方形ABCD内作∠EAF = 45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H.
（1）如图②，将△ADF绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABG，求证：△AGE≌△AFE.
（2）如图③，连接BD，交AE于点M，交AF于点N. 请探究并猜想线段BM、MN、ND之间有什么数量关系，并说明理由.

19.(1) 由旋转的性质，知AG = AF，∠DAF = ∠BAG，∠ABG = ∠ADF = 90°.∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ∠ABC = 90°，∠BAD = 90°.∴ G、B、E三点共线.∵ ∠EAF = 45°，∴ ∠BAE + ∠DAF = 45°.∴ ∠BAE + ∠BAG = 45°，即 ∠EAG = 45°.∴ ∠EAG = ∠EAF. 又∵ AE = AE，∴ $\triangle AGE≌\triangle AFE$. (2) $MN^{2} = ND^{2} + BM^{2}$ 理由:如图，将\triangle ABM绕点A按逆时针方向旋转90°得到\triangle ADM'，连接NM'.∵ 四边形ABCD为正方形，∴ 易证∠ABD = ∠ADB = 45°，∠BAM + ∠EAD = 90°.由旋转的性质，知AM = AM'，∠ABM = ∠ADM' = 45°，∠BAM = ∠DAM'，BM = DM'.∴ ∠NDM' = 90°，∠DAM' + ∠EAD = 90°，即 ∠EAM' = 90°.∴ 在Rt\triangle NDM'中，$M'N^{2} = ND^{2} + DM'^{2}$.∵ ∠EAM' = 90°，∠EAF = 45°，∴ ∠MAN = ∠M'AN = 45°.又∵ AN = AN，∴ $\triangle AMN≌\triangle AM'N$.∴ MN = M'N.又∵ BM = DM'，∴ $MN^{2} = ND^{2} + BM^{2}$.