10. 公园一座塔楼的剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点$A$处测得塔楼顶端点$E$的仰角$\angle EAG = 45^{\circ}$，台阶$AB$长$26m$，台阶坡面$AB$的坡度$i = 5:12$；在点$B$处测得塔楼顶端点$E$的仰角$\angle EBF = 60^{\circ}$。塔顶到地面的高度$EF$为多少？

​解：过B作AG垂线于C​
​因为AB的坡度为i=5：12​
​所以设BC=5x，AC=12x​
​因为AB=26m​
​所以(5x)²+(12x)²=26²​
​所以x=2​
​所以BC=10m，AC=24m​
​因为∠EBF=60°​
​所以设BF=x，$EF=\sqrt{3}x​$
​因为∠RAG=45°​
​根据题意可得：$\sqrt{3}x+10=x+24​$
$​(\sqrt{3}-1)x=14​$
$​x=7(\sqrt{3}+1)​$
​所以$EF=\sqrt{3}x=7\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=21+7\sqrt{3}m​$

11. 某电力部门在一处坡角为$30^{\circ}$的坡地上安装了一架风力发电机。某校实践活动小组对这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，如图为测量示意图。已知斜坡$CD$长$16m$，在地面点$A$处测得风力发电机塔杆顶端点$P$的仰角为$45^{\circ}$，利用无人机在点$A$正上方$53m$的点$B$处测得点$P$的俯角为$18^{\circ}$。求该风力发电机塔杆$PD$的高度。（参考数据：$\sin 18^{\circ} \approx 0.309$，$\cos 18^{\circ} \approx 0.951$，$\tan 18^{\circ} \approx 0.325$）

解：延长​PD​交​AC​于点​F，​延长​DP{交}BE​于点​G，​

由题意得：​PF⊥AF，​​DG⊥BE，​​AB=FG=53​米，​AF=BG，​
设​AF=BG=x​米，
在​Rt△CDF ​中，​∠DCF=30°，​​CD=16​米，
​∴$DF=\frac {1}{2}CD=8(​$米)，
在​Rt△PAF ​中，​∠PAF=45°，​
​∴$PF=AF•tan_{45}°=x(​$米)，
在​Rt△BPG ​中，​∠GBP=18°，​
​∴$GP=BG•tan_{18}°≈0.325x(​$米)，
​∴FG=PF+PG=x+0.325x=1.325x(​米)，
​∴1.325x=53，​
解得：​x=40，​
​∴PF=40​米，
​∴PD=PF-DF=40-8=32(​米)，
∴该风力发电机塔杆​PD​的高度约为​32​米.

12. 如图，圆圆在离教学楼底部点$A 24\sqrt{3}m$的点$C$处，遥控无人机旋停在点$C$正上方的点$D$处，测得教学楼$AB$的顶部点$B$的俯角为$30^{\circ}$。已知圆圆的眼睛距离地面的高度$CE$为$1.6m$，无人机的高度$CD$为$49.6m$。
（1）求教学楼$AB$的高度。
（2）若无人机保持现有高度沿平行于$CA$的方向，以$4\sqrt{3}m/s$的速度继续匀速向前飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线$EB$。

解​：(1)​如图,过点​B​作​BM⊥CD​于点​M，​
则​∠DBM=∠BDN=30°.​
在​Rt△BDM​中​，$BM=AC=243\ \mathrm {m}，$ ∠DBM = 30°，​
所以$​DM= BM×tan∠DBM=24\sqrt{3}×\frac {\sqrt{3}}{3}=24(\mathrm {m}) ​$
所以$​AB=CM=CD-DM=49.6-24=25. 6(\mathrm {m}).​$
答:教学楼​AB​的高度为$​25.6\ \mathrm {m}.​$
​(2)​如图,连接​EB​并延长交​DN​于点​G，​
则​∠DGE=∠MBE.​
在​Rt△EMB​中​，$BM =AC =24\sqrt{3}m，$$ EM =CM-CE=24\ \mathrm {m}，$​
所以$​ tan∠MBE=\frac {EM}{BM}=\frac {24}{24\sqrt{3}}=\frac {\sqrt{3}}{3}. ​$
所以​∠MBE=30°=∠DGE.​
因为​∠EDG=90°.​
所以​∠DEG =90° - 30° = 60°.​
在​Rt△EDG ​中​，$DE=CD-CE=48\ \mathrm {m}，$​
所以$​DG=DE×tan 60° =48\sqrt{3}m.​$
$​48\sqrt{3}÷4\sqrt{3}=12(\mathrm {s}).​$
所以经过$​12\ \mathrm {s}​$时，无人机刚好离开了圆圆的视线.

13. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$、$F$是边$BC$上两点，且$BE = EF = FC$，连接$DE$、$AF$，$DE$与$AF$相交于点$G$，连接$BG$。若$AB = 4$，$BC = 6$，则$\sin \angle GBF$的值为。

解​：(1)​如图,过点​B​作​BM⊥CD​于点​M，​
则​∠DBM=∠BDN=30°.​
在​Rt△BDM​中​，$BM=AC=243\ \mathrm {m}，$ ∠DBM = 30°，​
所以$​DM= BM×tan∠DBM=24\sqrt{3}×\frac {\sqrt{3}}{3}=24(\mathrm {m}) ​$
所以$​AB=CM=CD-DM=49.6-24=25. 6(\mathrm {m}).​$
答:教学楼​AB​的高度为$​25.6\ \mathrm {m}.​$
​(2)​如图,连接​EB​并延长交​DN​于点​G，​
则​∠DGE=∠MBE.​
在​Rt△EMB​中​，$BM =AC =24\sqrt{3}m，$$ EM =CM-CE=24\ \mathrm {m}，$​
所以$​ tan∠MBE=\frac {EM}{BM}=\frac {24}{24\sqrt{3}}=\frac {\sqrt{3}}{3}. ​$
所以​∠MBE=30°=∠DGE.​
因为​∠EDG=90°.​
所以​∠DEG =90° - 30° = 60°.​
在​Rt△EDG ​中​，$DE=CD-CE=48\ \mathrm {m}，$​
所以$​DG=DE×tan 60° =48\sqrt{3}m.​$
$​48\sqrt{3}÷4\sqrt{3}=12(\mathrm {s}).​$
所以经过$​12\ \mathrm {s}​$时，无人机刚好离开了圆圆的视线.


$ \frac{\sqrt{10}}{10}$