8.（2023·玄武区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC=12，BD=8，则经过________秒后，四边形BEDF是矩形.

2或10

9.（2023·吴中区期中）如图，AC=BC，D是AB的中点，CE//AB，CE=$\frac{1}{2}$AB.
（1）求证：四边形CDBE是矩形；
（2）若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF的长.

(1)证明：∵AC = BC，∴△ACB是等腰三角形.
∵D是AB的中点，∴DB = $\frac{1}{2}$AB，CD⊥DB.
∵CE = $\frac{1}{2}$AB，∴DB = CE.
∵CE//AB，∴四边形CDBE是平行四边形.
又∵CD⊥DB，∴四边形CDBE是矩形.
(2)解：在Rt△CDB中，∠CDB = 90°，CB = AC = 5，CD = 3，
∴BD = $\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}$ = 4.
∵DF⊥BC，∴DF·BC = CD·BD，解得DF = $\frac{12}{5}$.

10.（2023·秦淮区月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，点G，H分别在边DA，BC上，且AG=CH.
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若GH=AD，求证：四边形EHFG是矩形.

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A = ∠C，∠D = ∠B，AD = BC，AB = CD.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE = EB = CF = FD.
∵AG = CH，∴BH = DG，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，△BEH≌△DFG(SAS)，
∴EH = FG，EG = FH，
∴四边形EHFG是平行四边形.
(2)连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AB//CD.
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB，DF = $\frac{1}{2}$CD，∴AE = DF.
∵AB//CD，∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF = AD.
∵GH = AD，∴EF = GH.
又∵四边形EHFG是平行四边形，
∴四边形EHFG是矩形.

11. 如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=9，求OC的长；
（3）连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

(1)证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE = ∠ECB.
∵MN//BC，∴∠ECB = ∠OEC，
∴∠ACE = ∠OEC，∴OE = OC，
同理可得OC = OF，∴OE = OF.
(2)解：∵CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD，
∠ACB + ∠ACD = 180°，
∴∠ECF = ∠ACE + ∠ACF = $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ACD)= $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
∴EF = $\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}$ = $\sqrt{12^{2}+9^{2}}$ = 15.
由(1)可知OE = OF = OC，
∴OC = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{15}{2}$.
(3)解：当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形.
理由：当O为AC边的中点时，OA = OC，
∵OE = OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
由(2)知∠ECF = 90°，
∴平行四边形AECF是矩形.