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1. 某班有 40 人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他 39 人的平均分为 90 分，方差 $ s^{2}=41 $.后来小亮进行了补测，成绩为 90 分，关于该班 40 人的测试成绩，下列说法正确的是().
A.平均分不变，方差变大
B.平均分不变，方差变小
C.平均分和方差都不变
D.平均分和方差都改变
A.平均分不变，方差变大
B.平均分不变，方差变小
C.平均分和方差都不变
D.平均分和方差都改变
答案
B
解析
1. 计算平均分：39人的总分为$39×90=3510$分，加入小亮的90分后，40人的总分为$3510+90=3600$分，平均分$=3600÷40=90$分，故平均分不变。
2. 分析方差：原方差$s^2=\frac{1}{39}\sum_{i=1}^{39}(x_i-90)^2=41$，加入小亮的成绩（等于平均分）后，新方差$s'^2=\frac{1}{40}[\sum_{i=1}^{39}(x_i-90)^2+(90-90)^2]=\frac{39×41}{40}＜41$，故方差变小。
综上，平均分不变，方差变小。
2. 分析方差：原方差$s^2=\frac{1}{39}\sum_{i=1}^{39}(x_i-90)^2=41$，加入小亮的成绩（等于平均分）后，新方差$s'^2=\frac{1}{40}[\sum_{i=1}^{39}(x_i-90)^2+(90-90)^2]=\frac{39×41}{40}＜41$，故方差变小。
综上，平均分不变，方差变小。
2. 我们把一组数据分成两组的较常用的方法是使“组内离差平方和达到”，分组计算各组数据的离差平方和时，要先将数据按大小顺序排列.
答案
最小
解析
根据数据分组的相关知识，把一组数据分成两组的较常用方法是使“组内离差平方和达到最小”，分组计算各组数据的离差平方和时，需先将数据按大小顺序排列。
3. 在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长.同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，$ n $ 次测量会得到 $ n $ 个数据 $ a_{1} $，$ a_{2} $，…，$ a_{n} $，如果 $ a $ 与各个测量数据的差的平方和最小，就将 $ a $ 作为测量结果的最佳近似值.若 5 名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是 5.9，6.0，6.0，6.3，6.3(单位：cm)，则这株青稞穗长的最佳近似值为cm.
答案
6.1
解析
设最佳近似值为$ a $，记$ a $与各测量数据的差的平方和为$ S $，则：
$ S=(a-5.9)^2+(a-6.0)^2+(a-6.0)^2+(a-6.3)^2+(a-6.3)^2 $
展开并合并同类项得：
$ S=5a^2 - 61a + 186.19 $
该式为关于$ a $的二次函数，由于二次项系数$ 5＞0 $，函数开口向上，当$ a=\frac{61}{2×5}=6.1 $时，$ S $取得最小值，即此$ a $为最佳近似值。
$ S=(a-5.9)^2+(a-6.0)^2+(a-6.0)^2+(a-6.3)^2+(a-6.3)^2 $
展开并合并同类项得：
$ S=5a^2 - 61a + 186.19 $
该式为关于$ a $的二次函数，由于二次项系数$ 5＞0 $，函数开口向上，当$ a=\frac{61}{2×5}=6.1 $时，$ S $取得最小值，即此$ a $为最佳近似值。
4. 某校初三的 5 位男生的实心球投掷测试成绩如下表.
若将 5 位同学分成两组，使每组内的水平差距不大，你会怎么分？说说你的分组理由.
若将 5 位同学分成两组，使每组内的水平差距不大，你会怎么分？说说你的分组理由.
答案
解：
先将5位学生的成绩从小到大排列：7.1m，7.6m，8.3m，8.9m，9.5m
分组方案：学生①、④为一组，学生②、③、⑤为一组。
计算两组的平均成绩：
第一组平均成绩：$\frac{7.1 + 9.5}{2} = 8.3$（m）
第二组平均成绩：$\frac{7.6 + 8.3 + 8.9}{3} \approx 8.27$（m）
两组平均成绩接近，说明每组内的水平差距不大。
先将5位学生的成绩从小到大排列：7.1m，7.6m，8.3m，8.9m，9.5m
分组方案：学生①、④为一组，学生②、③、⑤为一组。
计算两组的平均成绩：
第一组平均成绩：$\frac{7.1 + 9.5}{2} = 8.3$（m）
第二组平均成绩：$\frac{7.6 + 8.3 + 8.9}{3} \approx 8.27$（m）
两组平均成绩接近，说明每组内的水平差距不大。
