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6. 阅读下面的材料，并解答问题。
把一个分式写成几个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”，这种方法常可以简化问题。例如，将分式 $ \frac{x - 3}{x^2 - 1} $ 表示成部分分式：$ \frac{x - 3}{x^2 - 1} = \frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)} $，设 $ \frac{x - 3}{x^2 - 1} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 1} $，得 $ x - 3 = (a + b)x + (b - a) $，所以 $ \begin{cases} a + b = 1, \\ b - a = - 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 2, \\ b = - 1. \end{cases} $ 所以 $ \frac{x - 3}{x^2 - 1} = \frac{2}{x + 1} + \frac{- 1}{x - 1} $。
(1)若 $ \frac{1}{x^2 + x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} $($ a $，$ b $ 为常数)，则 $ a = $，$ b = $。
(2)已知 $ \frac{5x}{(x + 1)(x - 3)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 3} $($ a $，$ b $ 为常数)，用材料中的解法求 $ a $，$ b $ 的值。
(3)化简：$ \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 4)} + ··· + \frac{1}{(2x + 1)(2x + 2)} $。
把一个分式写成几个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”，这种方法常可以简化问题。例如，将分式 $ \frac{x - 3}{x^2 - 1} $ 表示成部分分式：$ \frac{x - 3}{x^2 - 1} = \frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)} $，设 $ \frac{x - 3}{x^2 - 1} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 1} $，得 $ x - 3 = (a + b)x + (b - a) $，所以 $ \begin{cases} a + b = 1, \\ b - a = - 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 2, \\ b = - 1. \end{cases} $ 所以 $ \frac{x - 3}{x^2 - 1} = \frac{2}{x + 1} + \frac{- 1}{x - 1} $。
(1)若 $ \frac{1}{x^2 + x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} $($ a $，$ b $ 为常数)，则 $ a = $，$ b = $。
(2)已知 $ \frac{5x}{(x + 1)(x - 3)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 3} $($ a $，$ b $ 为常数)，用材料中的解法求 $ a $，$ b $ 的值。
(3)化简：$ \frac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 4)} + ··· + \frac{1}{(2x + 1)(2x + 2)} $。
答案
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解：(2)
$\begin {aligned}$∵$\frac {5x}{(x + 1)(x - 3)}&=\frac {a}{x + 1}+\frac {b}{x - 3}\\$∴去分母，得5x&=(a + b)x+(b - 3a)\\∴$\begin {cases}a + b = 5\\b - 3a = 0\end {cases}\\$解得$\begin {cases}a=\frac {5}{4}\\b =\frac {15}{4}\end {cases}\end {aligned}$
(3)
$\begin {aligned}&\frac {1}{(x + 1)(x + 2)}+\frac {1}{(x + 2)(x + 3)}+\frac {1}{(x + 3)(x + 4)}+···+\frac {1}{(2x + 1)(2x + 2)}\\=&\frac {1}{x + 1}-\frac {1}{x + 2}+\frac {1}{x + 2}-\frac {1}{x + 3}+\frac {1}{x + 3}-\frac {1}{x + 4}+···+\frac {1}{2x + 1}-\frac {1}{2x + 2}\\=&\frac {1}{x + 1}-\frac {1}{2x + 2}\\=&\frac {1}{2x + 2}\end {aligned}$
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解：(2)
$\begin {aligned}$∵$\frac {5x}{(x + 1)(x - 3)}&=\frac {a}{x + 1}+\frac {b}{x - 3}\\$∴去分母，得5x&=(a + b)x+(b - 3a)\\∴$\begin {cases}a + b = 5\\b - 3a = 0\end {cases}\\$解得$\begin {cases}a=\frac {5}{4}\\b =\frac {15}{4}\end {cases}\end {aligned}$
(3)
$\begin {aligned}&\frac {1}{(x + 1)(x + 2)}+\frac {1}{(x + 2)(x + 3)}+\frac {1}{(x + 3)(x + 4)}+···+\frac {1}{(2x + 1)(2x + 2)}\\=&\frac {1}{x + 1}-\frac {1}{x + 2}+\frac {1}{x + 2}-\frac {1}{x + 3}+\frac {1}{x + 3}-\frac {1}{x + 4}+···+\frac {1}{2x + 1}-\frac {1}{2x + 2}\\=&\frac {1}{x + 1}-\frac {1}{2x + 2}\\=&\frac {1}{2x + 2}\end {aligned}$
