9. 有下列等式：①$\frac{-(a - b)}{c}=-\frac{a - b}{c}$；②$\frac{-x + y}{-x}=\frac{x - y}{x}$；③$\frac{-a + b}{c}=-\frac{a + b}{c}$；④$\frac{-m - n}{m}=-\frac{m - n}{m}$。其中成立的是()

A.①②
B.③④
C.①③
D.②④

9. A

【分析】
要判断这些等式是否成立，需依据分式的符号变化法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。我们需要逐个对每个等式进行变形，对比左右两边是否相等，从而确定成立的等式，再选出对应的选项。
【解析】
逐个分析每个等式：
1. 对于等式①$\frac{-(a - b)}{c}=-\frac{a - b}{c}$：
根据分式的符号规则，分子的负号可直接提到分式前面，左边$\frac{-(a - b)}{c}$与右边$-\frac{a - b}{c}$相等，等式①成立。
2. 对于等式②$\frac{-x + y}{-x}=\frac{x - y}{x}$：
先将分子变形为$-x + y = -(x - y)$，分母为$-x$，则左边可写为$\frac{-(x - y)}{-x}$，分子和分母的负号抵消后得到$\frac{x - y}{x}$，与右边相等，等式②成立。
3. 对于等式③$\frac{-a + b}{c}=-\frac{a + b}{c}$：
分子$-a + b = -(a - b)$，左边应为$\frac{-(a - b)}{c}=-\frac{a - b}{c}$，与右边$-\frac{a + b}{c}$不相等，等式③不成立。
4. 对于等式④$\frac{-m - n}{m}=-\frac{m - n}{m}$：
分子$-m - n = -(m + n)$，左边应为$\frac{-(m + n)}{m}=-\frac{m + n}{m}$，与右边$-\frac{m - n}{m}$不相等，等式④不成立。
综上，成立的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的符号法则
【点评】
本题主要考查分式符号法则的应用，解题关键是对分子为多项式的情况提取负号时，要给多项式的每一项都变号，避免因符号处理错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7

10. 计算：
（1）$\frac{y}{x + y}+\frac{xy}{y^{2}-x^{2}}$； （2）$\frac{4}{a^{2}-2}-\frac{2}{a^{2}+a}$；
（3）$\frac{x^{2}}{x + y}-x + y$； （4）$\frac{2}{2a + 3}+\frac{3}{3 - 2a}+\frac{2a + 15}{4a^{2}-9}$。

10. （1）$\dfrac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}$ （2）$\dfrac{2a^{2} + 4a + 4}{a(a + 1)(a^{2} - 2)}$ （3）$\dfrac{y^{2}}{x + y}$ （4）0

【解析】
（1）原式$=\frac{y}{x+y}-\frac{xy}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{y(x-y)}{(x+y)(x-y)}-\frac{xy}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{xy-y^2-xy}{(x+y)(x-y)}$
$=\frac{-y^2}{-(y^2-x^2)}$
$=\frac{y^2}{y^2-x^2}$
（2）原式$=\frac{4}{a^2-2}-\frac{2}{a(a+1)}$
$=\frac{4a(a+1)}{a(a+1)(a^2-2)}-\frac{2(a^2-2)}{a(a+1)(a^2-2)}$
$=\frac{4a^2+4a-2a^2+4}{a(a+1)(a^2-2)}$
$=\frac{2a^2+4a+4}{a(a+1)(a^2-2)}$
（3）原式$=\frac{x^2}{x+y}-\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}$
$=\frac{x^2-(x^2-y^2)}{x+y}$
$=\frac{y^2}{x+y}$
（4）原式$=\frac{2}{2a+3}-\frac{3}{2a-3}+\frac{2a+15}{(2a+3)(2a-3)}$
$=\frac{2(2a-3)-3(2a+3)+2a+15}{(2a+3)(2a-3)}$
$=\frac{4a-6-6a-9+2a+15}{(2a+3)(2a-3)}$
$=\frac{0}{(2a+3)(2a-3)}$
$=0$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{y^{2}}{y^{2} - x^{2}}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{2a^{2} + 4a + 4}{a(a + 1)(a^{2} - 2)}}$；（3）$\boldsymbol{\dfrac{y^{2}}{x + y}}$；（4）$\boldsymbol{0}$
【知识点】
分式的加减运算，因式分解
【点评】
本题主要考查分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式通分的方法，准确对分母进行因式分解，再通过分子的整式运算化简结果。
【难度系数】
0.6

11. 先化简$\frac{m^{2}}{m - 1}-\frac{1 - 2m}{1 - m}$，再选取一个适当的$m$的值代入求值。

11. $m - 1$；取$m = 0$，值为$-1$

【分析】
首先观察到两个分式的分母$m-1$和$1-m$互为相反数，需先将分母统一为$m-1$，利用分式符号法则把第二个分式变形为同分母分式；再根据同分母分式的加减法则，将分子相加，对分子进行因式分解后约分得到最简形式；最后选取$m$的值时，要保证原分式分母不为0（即$m≠1$），代入最简式计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{m^{2}}{m - 1}-\frac{1 - 2m}{1 - m}\\=&\frac{m^{2}}{m - 1}+\frac{1 - 2m}{m - 1} \quad \mathrm{（利用分式符号法则，将分母化为同分母$m-1$）}\\=&\frac{m^{2} + 1 - 2m}{m - 1} \quad \mathrm{（同分母分式相加，分子相加、分母不变）}\\=&\frac{(m - 1)^{2}}{m - 1} \quad \mathrm{（分子利用完全平方公式因式分解）}\\=&m - 1 \quad \mathrm{（约分，注意$m≠1$）}\end{aligned}$
选取$m=0$（$m≠1$即可），代入化简后的式子得：$0 - 1 = -1$
【答案】
化简结果为$m - 1$；取$m = 0$，值为$-1$
【知识点】
分式的加减运算，完全平方公式，分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查分式的化简求值，重点是掌握分式加减的运算法则，需特别注意代入的$m$值要使原分式有意义，即分母不能为0。
【难度系数】
0.8

12. 当一个代数式只含有字母$x$，$y$时，把$x$替换成$y$，把$y$替换成$x$，会得到一个新代数式，若不论$x$，$y$如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式。例如，对于代数式$\frac{x + y}{xy}$，新代数式为$\frac{y + x}{yx}$，因为$\frac{x + y}{xy}=\frac{y + x}{yx}$，所以$\frac{x + y}{xy}$是对称式；对于代数式$\frac{x - y}{x}$，新代数式为$\frac{y - x}{y}$，当$x = 2$，$y = 1$时，$\frac{x - y}{x}≠\frac{y - x}{y}$，所以$\frac{x - y}{x}$不是对称式。
（1）请分别判断$x^{2}y + xy^{2}$和$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$是否为对称式，说明理由。
（2）若代数式$\frac{x + my}{xy}+\frac{x - y}{xy}$（$m$为常数）是对称式，求$m$的值。

12. （1）$x^{2}y + xy^{2}$是对称式，$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$不是对称式。理由如下：$\because x^{2}y + xy^{2}$交换$x$和$y$后为$y^{2}x + yx^{2} = x^{2}y + xy^{2}$，$\therefore x^{2}y + xy^{2}$是对称式；$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} = \dfrac{x^{2}}{xy} - \dfrac{y^{2}}{xy} = \dfrac{x^{2} - y^{2}}{xy}$，$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$交换$x$和$y$后为$\dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y} = \dfrac{y^{2}}{xy} - \dfrac{x^{2}}{xy} = \dfrac{y^{2} - x^{2}}{xy}$，$\because \dfrac{x^{2} - y^{2}}{xy} ≠ \dfrac{y^{2} - x^{2}}{xy}$，$\therefore \dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$不是对称式
（2）当$m = 3$时，代数式$\dfrac{x + my}{xy} + \dfrac{x - y}{xy}$（$m$为常数）是对称式。$\because \dfrac{x + my}{xy} + \dfrac{x - y}{xy} = \dfrac{y + mx}{xy} + \dfrac{y - x}{xy}$，$\dfrac{2x + (m - 1)y}{xy} = \dfrac{2y + (m - 1)x}{yx}$，$\therefore 2x + (m - 1)y = 2y + (m - 1)x$，$\therefore m - 1 = 2$，$\therefore m = 3$

【分析】
（1）判断是否为对称式需严格依据定义：将代数式中的x与y互换得到新代数式，若新代数式与原代数式始终相等，则为对称式。对于$x^{2}y + xy^{2}$，互换x、y后，新代数式的各项只是顺序改变，与原式完全相同；对于$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$，互换x、y后得到的新代数式是原代数式的相反数，显然不相等，据此可判断。
（2）先将原代数式合并化简，再根据对称式的定义，互换x、y后的新代数式与原代数式相等，对应同类项的系数需相等，由此建立关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
（1）$x^{2}y + xy^{2}$是对称式，$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$不是对称式。理由如下：
将$x^{2}y + xy^{2}$中的x与y互换，得到新代数式为$y^{2}x + yx^{2}$，由于加法和乘法满足交换律，$y^{2}x + yx^{2}=x^{2}y + xy^{2}$，即新代数式与原代数式始终相等，所以$x^{2}y + xy^{2}$是对称式；
$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$通分后为$\dfrac{x^{2}-y^{2}}{xy}$，将x与y互换后得到的新代数式为$\dfrac{y}{x} - \dfrac{x}{y}=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{xy}=-\dfrac{x^{2}-y^{2}}{xy}$，显然$\dfrac{x^{2}-y^{2}}{xy}≠-\dfrac{x^{2}-y^{2}}{xy}$（除非$x^{2}=y^{2}$，但题目要求不论x、y如何取值都相等），所以$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$不是对称式。
（2）先化简原代数式：
$\dfrac{x + my}{xy} + \dfrac{x - y}{xy}=\dfrac{x+my+x-y}{xy}=\dfrac{2x+(m-1)y}{xy}$
根据对称式的定义，将x与y互换后得到的新代数式为$\dfrac{2y+(m-1)x}{yx}$，由于新代数式与原代数式始终相等，且分母$xy=yx$，所以分子必须相等，即：
$2x+(m-1)y=2y+(m-1)x$
整理得：$(2-(m-1))x=(2-(m-1))y$
因为不论x、y如何取值等式都成立，所以对应系数需满足$2-(m-1)=0$，解得$m=3$。
【答案】
（1）$x^{2}y + xy^{2}$是对称式，$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$不是对称式；（2）$m=3$
【知识点】
对称式的定义、代数式化简、等式的性质
【点评】
本题紧扣对称式的定义展开，第一问考查对定义的直接理解与应用，第二问需要先化简代数式，再利用等式恒成立的条件建立方程求解，既考查了代数运算能力，又培养了学生对新定义概念的理解与运用能力，是一道典型的新定义题型。
【难度系数】
0.6