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9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是边 $CD$，$AD$ 上的点，$AE⊥ BF$，且 $AE = BF$. 求证:矩形 $ABCD$ 是正方形.
答案
9.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠BAD=∠ADE=90°．
∴ ∠ABF+∠AFB=90°．
∵ AE⊥BF，
∴ ∠DAE+∠AFB=90°．
∴ ∠ABF=∠DAE．在△ABF 和△DAE 中，$\{\begin{array}{l} ∠ABF=∠DAE,\\ ∠BAF=∠ADE,\\ BF=AE,\end{array} $
∴ △ABF≌△DAE（AAS）．
∴ AB=DA．
∴ 矩形 ABCD 是正方形
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠BAD=∠ADE=90°．
∴ ∠ABF+∠AFB=90°．
∵ AE⊥BF，
∴ ∠DAE+∠AFB=90°．
∴ ∠ABF=∠DAE．在△ABF 和△DAE 中，$\{\begin{array}{l} ∠ABF=∠DAE,\\ ∠BAF=∠ADE,\\ BF=AE,\end{array} $
∴ △ABF≌△DAE（AAS）．
∴ AB=DA．
∴ 矩形 ABCD 是正方形
解析
【分析】
要证明矩形ABCD是正方形，根据正方形的判定定理，只需证明矩形的一组邻边相等（AB=AD）。首先利用矩形的性质得到∠BAD=∠ADE=90°，再结合AE⊥BF，通过同角的余角相等推出∠ABF=∠DAE，然后结合已知AE=BF，利用AAS证明△ABF≌△DAE，从而得到AB=DA，即可证明矩形ABCD是正方形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=∠ADE=90°，
∴ ∠ABF+∠AFB=90°．
∵ AE⊥BF，
∴ ∠DAE+∠AFB=90°，
∴ ∠ABF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠DAE\\∠BAF=∠ADE\\BF=AE\end{array} $
∴ △ABF≌△DAE（AAS），
∴ AB=DA，
∴ 矩形ABCD是正方形．
【答案】
矩形ABCD是正方形
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定（AAS）；正方形的判定
【点评】
本题主要考查矩形、正方形的性质与判定，以及全等三角形的判定与性质。解题关键是通过角的关系找到全等三角形的判定条件，将证明正方形的问题转化为证明矩形邻边相等的问题，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要证明矩形ABCD是正方形，根据正方形的判定定理，只需证明矩形的一组邻边相等（AB=AD）。首先利用矩形的性质得到∠BAD=∠ADE=90°，再结合AE⊥BF，通过同角的余角相等推出∠ABF=∠DAE，然后结合已知AE=BF，利用AAS证明△ABF≌△DAE，从而得到AB=DA，即可证明矩形ABCD是正方形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=∠ADE=90°，
∴ ∠ABF+∠AFB=90°．
∵ AE⊥BF，
∴ ∠DAE+∠AFB=90°，
∴ ∠ABF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠DAE\\∠BAF=∠ADE\\BF=AE\end{array} $
∴ △ABF≌△DAE（AAS），
∴ AB=DA，
∴ 矩形ABCD是正方形．
【答案】
矩形ABCD是正方形
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定（AAS）；正方形的判定
【点评】
本题主要考查矩形、正方形的性质与判定，以及全等三角形的判定与性质。解题关键是通过角的关系找到全等三角形的判定条件，将证明正方形的问题转化为证明矩形邻边相等的问题，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
10. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 7，点 $E$ 在 $AB$ 上，且 $AE = 3$，将正方形沿 $DE$ 翻折，点 $A$ 落在点 $G$ 处，延长 $EG$ 交 $BC$ 于点 $F$，求 $CF$ 的长.
答案
10. 连接 DF．
∵ 将正方形沿 DE 翻折，点A 落在点 G 处，
∴ EG=AE=3，DG=AD=CD，∠DGE=∠A=90°．
∴ ∠DGF=∠C=90°．
∵ DF=DF，
∴ Rt△DGF≌Rt△DCF（HL）．
∴ CF=GF．设 CF=GF=x，则 BF=7-x，EF=3+x，
∵ BE²+BF²=EF²，
∴ (7-3)²+(7-x)²=(3+x)²，解得$x=\frac {14}{5}$，
∴ CF 的长为$\frac {14}{5}$
∵ 将正方形沿 DE 翻折，点A 落在点 G 处，
∴ EG=AE=3，DG=AD=CD，∠DGE=∠A=90°．
∴ ∠DGF=∠C=90°．
∵ DF=DF，
∴ Rt△DGF≌Rt△DCF（HL）．
∴ CF=GF．设 CF=GF=x，则 BF=7-x，EF=3+x，
∵ BE²+BF²=EF²，
∴ (7-3)²+(7-x)²=(3+x)²，解得$x=\frac {14}{5}$，
∴ CF 的长为$\frac {14}{5}$
解析
【分析】
首先，根据正方形沿DE翻折的性质，翻折前后对应边、对应角相等，可得EG=AE，DG=AD=CD，∠DGE=∠A=90°，进而推出∠DGF=∠C=90°。为了建立CF与已知边的关系，连接DF，利用HL定理可证明Rt△DGF和Rt△DCF全等，得到CF=GF。接着设CF=GF=x，用含x的式子表示出BF、EF的长度，最后在Rt△BEF中，根据勾股定理列方程求解即可得到CF的长。
【解析】
连接DF。
∵ 将正方形沿DE翻折，点A落在点G处，
∴ EG=AE=3，DG=AD=CD，∠DGE=∠A=90°，
∴ ∠DGF=180°-∠DGE=90°，即∠DGF=∠C=90°。
在Rt△DGF和Rt△DCF中，
$\{\begin{array}{l} DG=DC\\ DF=DF\end{array} $
∴ Rt△DGF≌Rt△DCF（HL），
∴ CF=GF。
设CF=GF=x，则BF=BC-CF=7-x，EF=EG+GF=3+x，
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=7，AE=3，
∴ BE=AB-AE=7-3=4，∠B=90°。
在Rt△BEF中，根据勾股定理：$BE^{2}+BF^{2}=EF^{2}$，
代入得：$4^{2}+(7-x)^{2}=(3+x)^{2}$，
展开计算：$16+49-14x+x^{2}=9+6x+x^{2}$，
移项化简：$65-14x=9+6x$，
$20x=56$，
解得$x=\frac{14}{5}$。
∴ CF的长为$\frac{14}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{14}{5}}$
【知识点】
正方形的性质；翻折变换（轴对称）；勾股定理
【点评】
本题主要考查翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，关键是通过构造全等三角形将CF转化为GF，再利用勾股定理建立方程求解，体现了转化思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.5
首先，根据正方形沿DE翻折的性质，翻折前后对应边、对应角相等，可得EG=AE，DG=AD=CD，∠DGE=∠A=90°，进而推出∠DGF=∠C=90°。为了建立CF与已知边的关系，连接DF，利用HL定理可证明Rt△DGF和Rt△DCF全等，得到CF=GF。接着设CF=GF=x，用含x的式子表示出BF、EF的长度，最后在Rt△BEF中，根据勾股定理列方程求解即可得到CF的长。
【解析】
连接DF。
∵ 将正方形沿DE翻折，点A落在点G处，
∴ EG=AE=3，DG=AD=CD，∠DGE=∠A=90°，
∴ ∠DGF=180°-∠DGE=90°，即∠DGF=∠C=90°。
在Rt△DGF和Rt△DCF中，
$\{\begin{array}{l} DG=DC\\ DF=DF\end{array} $
∴ Rt△DGF≌Rt△DCF（HL），
∴ CF=GF。
设CF=GF=x，则BF=BC-CF=7-x，EF=EG+GF=3+x，
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=7，AE=3，
∴ BE=AB-AE=7-3=4，∠B=90°。
在Rt△BEF中，根据勾股定理：$BE^{2}+BF^{2}=EF^{2}$，
代入得：$4^{2}+(7-x)^{2}=(3+x)^{2}$，
展开计算：$16+49-14x+x^{2}=9+6x+x^{2}$，
移项化简：$65-14x=9+6x$，
$20x=56$，
解得$x=\frac{14}{5}$。
∴ CF的长为$\frac{14}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{14}{5}}$
【知识点】
正方形的性质；翻折变换（轴对称）；勾股定理
【点评】
本题主要考查翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理的应用，关键是通过构造全等三角形将CF转化为GF，再利用勾股定理建立方程求解，体现了转化思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.5
11. 如图①，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是对角线 $AC$ 上任意一点，过点 $E$ 作 $EF⊥ AC$，垂足为 $E$，交 $BC$ 所在直线于点 $F$. 探索 $AF$ 与 $DE$ 之间的数量关系，并说明理由.
(1) 如图②，当 $E$ 是对角线 $AC$ 的中点时，$AF$ 与 $DE$ 之间的数量关系是
(2) 如图③，将 $AF$ 沿 $AD$ 方向平移，得到 $DG$，将原来分散的两条线段“集中”到同一个三角形中，这样就可以将问题转化为探究 $DG$ 与 $DE$ 之间的数量关系. 请你按照这个思路，完成解题过程.
(1) 如图②，当 $E$ 是对角线 $AC$ 的中点时，$AF$ 与 $DE$ 之间的数量关系是
$AF=\sqrt {2}DE$
.(2) 如图③，将 $AF$ 沿 $AD$ 方向平移，得到 $DG$，将原来分散的两条线段“集中”到同一个三角形中，这样就可以将问题转化为探究 $DG$ 与 $DE$ 之间的数量关系. 请你按照这个思路，完成解题过程.
答案
11. （1）$AF=\sqrt {2}DE$
（2）$DG=\sqrt {2}DE$．如图，过点 E 作 MN//CD，交 AD 于点 N，交 BC 于点 M，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠DAB=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA，∠ACB=45°．
∴ ∠NMC=180°-∠DCM=90°．
∴ 四边形MCDN 是矩形．
∴ ND=MC，MN=CD，∠DNE=90°．
∵ EF⊥AC，
∴ △CEF 是等腰直角三角形．
∴ EM=FM=CM．
∴ EM=DN．由平移可知BF=CG，AF=DG，
∴ BF+FM=CG+MC．
∴ BM=MG．
∵ NE=MN-EM，BM=BC-CM，MN=CD=BC，
∴ NE=BM=MG．
∴ △DNE≌△EMG（SAS）．
∴ DE=EG，∠DEN=∠EGM．
∵ ∠EGM+∠MEG=90°，
∴ ∠DEN+∠MEG=90°．
∴ ∠DEG=180°-90°=90°．
∴ △DEG 为等腰直角三角形．
∴ $DG=\sqrt {2}DE$．
或者：
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ ∠BCD=90°，BC=DC，∠ECD=45°．由平移可知 BC=FG，
∴ CD=FG，
∵ FE⊥AC，
∴ ∠EFC=45°．
∴ ∠ECD=∠EFG=45°．
∴ △DEC≌△GEF（SAS）．
∴ DE=GE，$DG=\sqrt {2}DE$
解析
【分析】
1. 对于第(1)问：当E是AC中点时，结合图②可知F与B重合，此时AF为正方形的边AB，DE是正方形对角线AC的一半。利用正方形对角线与边长的关系（对角线长度是边长的$\sqrt{2}$倍），可直接推导AF与DE的数量关系：AC=$\sqrt{2}$AB，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}AB}{2}$，因此AB=$\sqrt{2}$DE，即AF=$\sqrt{2}$DE。
2. 对于第(2)问：题目提示将AF平移得到DG，需把AF与DE的关系转化为DG与DE的关系。思路是构造全等三角形，证明DE=EG且∠DEG=90°，使△DEG成为等腰直角三角形，从而得到DG=$\sqrt{2}$DE，再结合平移性质AF=DG，最终得出AF与DE的关系。
【解析】
(1) 当E是AC中点时，由图②可知F与B重合。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，AC=$\sqrt{2}$AB，AC与BD互相平分且相等，
∴ DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}AB}{2}$，
又
∵ AF=AB，
∴ AF=$\sqrt{2}$DE。
(2) 方法一：
过点E作$MN// CD$，交AD于点N，交BC于点M。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ DAB=∠ B=∠ BCD=∠ ADC=90°$，$AB=BC=CD=DA$，$∠ ACB=45°$，
∴ $∠ NMC=180°-∠ DCM=90°$，四边形MCDN是矩形，
∴ $ND=MC$，$MN=CD$，$∠ DNE=90°$。
∵ $EF⊥ AC$，$∠ ACB=45°$，
∴ $△ CEF$是等腰直角三角形，$EM=FM=CM$，
∴ $EM=DN$。
由平移的性质可知：$BF=CG$，$AF=DG$，
∴ $BF+FM=CG+MC$，即$BM=MG$。
∵ $NE=MN-EM$，$BM=BC-CM$，且$MN=CD=BC$，
∴ $NE=BM=MG$。
在$△ DNE$和$△ EMG$中：
$\{\begin{array}{l}DN=EM \\∠ DNE=∠ EMG=90° \\NE=MG\end{array} $
∴ $△ DNE≌△ EMG$（SAS），
∴ $DE=EG$，$∠ DEN=∠ EGM$。
∵ $∠ EGM+∠ MEG=90°$，
∴ $∠ DEN+∠ MEG=90°$，
∴ $∠ DEG=180°-(∠ DEN+∠ MEG)=90°$，
∴ $△ DEG$是等腰直角三角形，
∴ $DG=\sqrt{2}DE$。
又
∵ $AF=DG$，
∴ $AF=\sqrt{2}DE$。
方法二：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ BCD=90°$，$BC=DC$，$∠ ECD=45°$。
由平移的性质可知：$BC=FG$，
∴ $CD=FG$。
∵ $FE⊥ AC$，$∠ ACB=45°$，
∴ $∠ EFC=45°$，
∴ $∠ ECD=∠ EFG=45°$。
在$△ DEC$和$△ GEF$中：
$\{\begin{array}{l}CD=FG \\∠ ECD=∠ EFG \\EC=EF\end{array} $
∴ $△ DEC≌△ GEF$（SAS），
∴ $DE=GE$，$∠ DEC=∠ GEF$。
∵ $∠ DEC+∠ DEF=90°$，
∴ $∠ GEF+∠ DEF=∠ DEG=90°$，
∴ $△ DEG$是等腰直角三角形，
∴ $DG=\sqrt{2}DE$。
又
∵ $AF=DG$，
∴ $AF=\sqrt{2}DE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AF=\sqrt{2}DE}$；
(2) $\boldsymbol{AF=\sqrt{2}DE}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题从特殊位置到一般位置探究线段关系，通过平移变换将分散线段集中，考查了对正方形性质、全等三角形及等腰直角三角形性质的综合运用，解题关键是利用平移构造全等三角形，将线段关系转化为等腰直角三角形的边长关系。
【难度系数】
0.3
1. 对于第(1)问：当E是AC中点时，结合图②可知F与B重合，此时AF为正方形的边AB，DE是正方形对角线AC的一半。利用正方形对角线与边长的关系（对角线长度是边长的$\sqrt{2}$倍），可直接推导AF与DE的数量关系：AC=$\sqrt{2}$AB，DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}AB}{2}$，因此AB=$\sqrt{2}$DE，即AF=$\sqrt{2}$DE。
2. 对于第(2)问：题目提示将AF平移得到DG，需把AF与DE的关系转化为DG与DE的关系。思路是构造全等三角形，证明DE=EG且∠DEG=90°，使△DEG成为等腰直角三角形，从而得到DG=$\sqrt{2}$DE，再结合平移性质AF=DG，最终得出AF与DE的关系。
【解析】
(1) 当E是AC中点时，由图②可知F与B重合。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD，AC=$\sqrt{2}$AB，AC与BD互相平分且相等，
∴ DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}AB}{2}$，
又
∵ AF=AB，
∴ AF=$\sqrt{2}$DE。
(2) 方法一：
过点E作$MN// CD$，交AD于点N，交BC于点M。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ DAB=∠ B=∠ BCD=∠ ADC=90°$，$AB=BC=CD=DA$，$∠ ACB=45°$，
∴ $∠ NMC=180°-∠ DCM=90°$，四边形MCDN是矩形，
∴ $ND=MC$，$MN=CD$，$∠ DNE=90°$。
∵ $EF⊥ AC$，$∠ ACB=45°$，
∴ $△ CEF$是等腰直角三角形，$EM=FM=CM$，
∴ $EM=DN$。
由平移的性质可知：$BF=CG$，$AF=DG$，
∴ $BF+FM=CG+MC$，即$BM=MG$。
∵ $NE=MN-EM$，$BM=BC-CM$，且$MN=CD=BC$，
∴ $NE=BM=MG$。
在$△ DNE$和$△ EMG$中：
$\{\begin{array}{l}DN=EM \\∠ DNE=∠ EMG=90° \\NE=MG\end{array} $
∴ $△ DNE≌△ EMG$（SAS），
∴ $DE=EG$，$∠ DEN=∠ EGM$。
∵ $∠ EGM+∠ MEG=90°$，
∴ $∠ DEN+∠ MEG=90°$，
∴ $∠ DEG=180°-(∠ DEN+∠ MEG)=90°$，
∴ $△ DEG$是等腰直角三角形，
∴ $DG=\sqrt{2}DE$。
又
∵ $AF=DG$，
∴ $AF=\sqrt{2}DE$。
方法二：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ BCD=90°$，$BC=DC$，$∠ ECD=45°$。
由平移的性质可知：$BC=FG$，
∴ $CD=FG$。
∵ $FE⊥ AC$，$∠ ACB=45°$，
∴ $∠ EFC=45°$，
∴ $∠ ECD=∠ EFG=45°$。
在$△ DEC$和$△ GEF$中：
$\{\begin{array}{l}CD=FG \\∠ ECD=∠ EFG \\EC=EF\end{array} $
∴ $△ DEC≌△ GEF$（SAS），
∴ $DE=GE$，$∠ DEC=∠ GEF$。
∵ $∠ DEC+∠ DEF=90°$，
∴ $∠ GEF+∠ DEF=∠ DEG=90°$，
∴ $△ DEG$是等腰直角三角形，
∴ $DG=\sqrt{2}DE$。
又
∵ $AF=DG$，
∴ $AF=\sqrt{2}DE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AF=\sqrt{2}DE}$；
(2) $\boldsymbol{AF=\sqrt{2}DE}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题从特殊位置到一般位置探究线段关系，通过平移变换将分散线段集中，考查了对正方形性质、全等三角形及等腰直角三角形性质的综合运用，解题关键是利用平移构造全等三角形，将线段关系转化为等腰直角三角形的边长关系。
【难度系数】
0.3
