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4. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC，BD 交于点 O，AC = 6，BD = 10，且∠ACB = 90°，求平行四边形 ABCD 的面积。
答案
【检测反馈】 4. $\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形,$\therefore OC=\frac{1}{2}AC=3$,$OB=\frac{1}{2}BD=5$.$\because ∠ ACB=90^{\circ}$,$\therefore BC=\sqrt{OB^{2}-OC^{2}}=4$,$\therefore S_{四边形ABCD}=BC· AC=4× 6=24$
解析
【解析】
∵ 四边形$ABCD$为平行四边形，
∴ $OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=5$。
∵ $∠ACB=90^{\circ}$，
∴ 在$Rt△ OCB$中，$BC=\sqrt{OB^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴ 平行四边形$ABCD$的面积$S=BC·AC=4×6=24$。
【答案】
24
【知识点】
平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形面积计算
【点评】
本题考查平行四边形性质与勾股定理的综合运用，需利用平行四边形对角线互相平分的性质求出相关线段长度，再结合勾股定理算出边长，进而求得平行四边形的面积，熟练掌握相关定理是解题关键。
【难度系数】
0.6
∵ 四边形$ABCD$为平行四边形，
∴ $OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=5$。
∵ $∠ACB=90^{\circ}$，
∴ 在$Rt△ OCB$中，$BC=\sqrt{OB^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴ 平行四边形$ABCD$的面积$S=BC·AC=4×6=24$。
【答案】
24
【知识点】
平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形面积计算
【点评】
本题考查平行四边形性质与勾股定理的综合运用，需利用平行四边形对角线互相平分的性质求出相关线段长度，再结合勾股定理算出边长，进而求得平行四边形的面积，熟练掌握相关定理是解题关键。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O。若∠ADB = 90°，BD = 6，AD = 4，则 AC 的长为(
A.8
B.9
C.10
D.12
C
)A.8
B.9
C.10
D.12
答案
【迁移运用】 1. C
解析
【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OD = \frac{1}{2}BD$。
2. 已知$BD = 6$，代入得$OD = \frac{1}{2}×6 = 3$。
3. 因为$∠ ADB = 90°$，所以$△ ADO$是直角三角形，根据勾股定理：
$AO = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
4. 再由平行四边形对角线互相平分的性质，得$AC = 2AO = 2×5 = 10$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形的性质与勾股定理的综合运用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质将所求线段转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$OD = \frac{1}{2}BD$。
2. 已知$BD = 6$，代入得$OD = \frac{1}{2}×6 = 3$。
3. 因为$∠ ADB = 90°$，所以$△ ADO$是直角三角形，根据勾股定理：
$AO = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
4. 再由平行四边形对角线互相平分的性质，得$AC = 2AO = 2×5 = 10$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形的性质与勾股定理的综合运用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质将所求线段转化到直角三角形中求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在平面直角坐标系内，□ABCD 的对角线的交点正好与坐标原点重合，点 B 的坐标为(-3，3)，则点 D 的坐标为
(3,-3)
。答案
【迁移运用】 2. $(3,-3)$
解析
【解析】
因为平行四边形ABCD的对角线交点与坐标原点重合，所以点B与点D关于原点对称。根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标分别互为相反数，已知点B的坐标为(-3,3)，可得点D的坐标为(3,-3)。
【答案】
$(3,-3)$
【知识点】
平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平行四边形性质与关于原点对称的点的坐标特征的综合应用，解题关键是明确平行四边形对角线互相平分，进而得到点B与点D关于原点对称。
【难度系数】
0.9
因为平行四边形ABCD的对角线交点与坐标原点重合，所以点B与点D关于原点对称。根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标分别互为相反数，已知点B的坐标为(-3,3)，可得点D的坐标为(3,-3)。
【答案】
$(3,-3)$
【知识点】
平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平行四边形性质与关于原点对称的点的坐标特征的综合应用，解题关键是明确平行四边形对角线互相平分，进而得到点B与点D关于原点对称。
【难度系数】
0.9
3. 如图①，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O；经过点 O 的直线 EF 与 AD 交于点 E，与 BC 交于点 F。
(1) 求证：OE = OF。
(2) 如图②，连接 AF，CE，当 AF⊥FC 时，在不添加辅助线的情况下，直接写出长度等于$\frac{1}{2}AC$的线段。
(1) 求证：OE = OF。
(2) 如图②，连接 AF，CE，当 AF⊥FC 时，在不添加辅助线的情况下，直接写出长度等于$\frac{1}{2}AC$的线段。
答案
【迁移运用】 3. (1) $\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore OA=OC$,$AD// BC$,$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$. 在$△ OAE$和$△ OCF$中,$\{\begin{array}{l} ∠ EAO=∠ FCO,\\ OA=OC,\\ ∠ EOA=∠ FOC,\end{array} $$\therefore △ AOE≌ △ COF(ASA)$,$\therefore OE=OF$ (2) $OA=OC=OE=OF=\frac{1}{2}AC$
解析
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC$，$AD// BC$，
∴ $∠EAO=∠FCO$。
在$△ OAE$和$△ OCF$中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO\\OA=OC\\∠EOA=∠FOC\end{array} $
∴ $△ AOE≌△ COF(ASA)$，
∴ $OE=OF$。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC$；
由(1)知$OE=OF$，
又
∵ $AF⊥FC$，
∴ 在$Rt△ AFC$中，$OF$为斜边$AC$的中线，故$OF=\frac{1}{2}AC$，同理$OE=\frac{1}{2}AC$，
因此长度等于$\frac{1}{2}AC$的线段为$OA、OC、OE、OF$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{OA、OC、OE、OF}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及直角三角形的相关性质，需灵活运用几何定理解决问题。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC$，$AD// BC$，
∴ $∠EAO=∠FCO$。
在$△ OAE$和$△ OCF$中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO\\OA=OC\\∠EOA=∠FOC\end{array} $
∴ $△ AOE≌△ COF(ASA)$，
∴ $OE=OF$。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC$；
由(1)知$OE=OF$，
又
∵ $AF⊥FC$，
∴ 在$Rt△ AFC$中，$OF$为斜边$AC$的中线，故$OF=\frac{1}{2}AC$，同理$OE=\frac{1}{2}AC$，
因此长度等于$\frac{1}{2}AC$的线段为$OA、OC、OE、OF$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{OA、OC、OE、OF}$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及直角三角形的相关性质，需灵活运用几何定理解决问题。
【难度系数】
0.6
