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11. 一个大正方形和四个边长相等的小正方形按图1、图2两种方式摆放，则图2未被小正方形覆盖部分的面积是
$ ab $
.(用含$a$，$b$的代数式表示)答案
11. $ ab $
解析
【解析】
设小正方形的边长为$ x $，大正方形的边长为$ y $。
由图1得：$ a = y + 2x $，
由图2得：$ b = y - 2x $。
图2未被小正方形覆盖部分的面积为大正方形面积减去4个小正方形的面积，即：
$ y^2 - 4x^2 = (y + 2x)(y - 2x) = ab $。
【答案】
$ ab $
【知识点】
平方差公式，列代数式
【点评】
本题通过设未知数建立边长关系，利用平方差公式简化面积计算，考查了图形面积的计算与代数式的变形能力。
【难度系数】
0.6
设小正方形的边长为$ x $，大正方形的边长为$ y $。
由图1得：$ a = y + 2x $，
由图2得：$ b = y - 2x $。
图2未被小正方形覆盖部分的面积为大正方形面积减去4个小正方形的面积，即：
$ y^2 - 4x^2 = (y + 2x)(y - 2x) = ab $。
【答案】
$ ab $
【知识点】
平方差公式，列代数式
【点评】
本题通过设未知数建立边长关系，利用平方差公式简化面积计算，考查了图形面积的计算与代数式的变形能力。
【难度系数】
0.6
12. 已知$2a^{2}+3a - 6 = 0$，求代数式$3a(2a + 1)-(2a + 1)(2a - 1)$的值.
答案
12. 解：$ \because 2a^{2}+3a-6=0 $，$ \therefore 2a^{2}+3a=6 $．
$ \therefore 3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)=6a^{2}+3a-4a^{2}+1=2a^{2}+3a+1=6+1=7 $．
$ \therefore 3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)=6a^{2}+3a-4a^{2}+1=2a^{2}+3a+1=6+1=7 $．
解析
【解析】
$\because 2a^{2}+3a - 6 = 0$，$\therefore 2a^{2}+3a=6$。
对代数式化简：
$3a(2a + 1)-(2a + 1)(2a - 1)$
$=6a^{2}+3a-(4a^{2}-1)$
$=6a^{2}+3a-4a^{2}+1$
$=2a^{2}+3a+1$
将$2a^{2}+3a=6$代入，得$6+1=7$。
【答案】
7
【知识点】
整式的混合运算、代数式求值、平方差公式
【点评】
本题考查整式的混合运算与代数式求值，运用整体代入思想简化计算，需熟练掌握整式运算法则与公式。
【难度系数】
0.7
$\because 2a^{2}+3a - 6 = 0$，$\therefore 2a^{2}+3a=6$。
对代数式化简：
$3a(2a + 1)-(2a + 1)(2a - 1)$
$=6a^{2}+3a-(4a^{2}-1)$
$=6a^{2}+3a-4a^{2}+1$
$=2a^{2}+3a+1$
将$2a^{2}+3a=6$代入，得$6+1=7$。
【答案】
7
【知识点】
整式的混合运算、代数式求值、平方差公式
【点评】
本题考查整式的混合运算与代数式求值，运用整体代入思想简化计算，需熟练掌握整式运算法则与公式。
【难度系数】
0.7
13. 阅读下列材料，解答问题：
在$(x^{2}+ax + b)(2x^{2}-3x - 1)$的积中，$x^{3}$项的系数为$-5$，$x^{2}$的系数为$-6$，求$a$，$b$的值.
解：$(x^{2}+ax + b)(2x^{2}-3x - 1)$
$=2x^{4}-3x^{3}+2ax^{3}-3ax^{2}+2bx^{2}-3bx^{6}$ ①
$=2x^{4}-(3 - 2a)x^{3}-(3a - 2b)x^{2}-3bx$ ②
根据对应项系数相等有$\begin{cases}3 - 2a = - 5,\\3a - 2b = - 6.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4,\\b = 9.\end{cases}$ ③
(1)上述解答过程是否正确？
(2)若不正确，从第几步开始出现错误？其他步骤是否还有错误？
(3)请你写出正确的解答过程.
在$(x^{2}+ax + b)(2x^{2}-3x - 1)$的积中，$x^{3}$项的系数为$-5$，$x^{2}$的系数为$-6$，求$a$，$b$的值.
解：$(x^{2}+ax + b)(2x^{2}-3x - 1)$
$=2x^{4}-3x^{3}+2ax^{3}-3ax^{2}+2bx^{2}-3bx^{6}$ ①
$=2x^{4}-(3 - 2a)x^{3}-(3a - 2b)x^{2}-3bx$ ②
根据对应项系数相等有$\begin{cases}3 - 2a = - 5,\\3a - 2b = - 6.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4,\\b = 9.\end{cases}$ ③
(1)上述解答过程是否正确？
(2)若不正确，从第几步开始出现错误？其他步骤是否还有错误？
(3)请你写出正确的解答过程.
答案
13. (1)不正确．
(2)从第①步开始出现错误，还有第②、③步也出现错误．
(3)正确的解答过程如下：
$ \because (x^{2}+ax+b)(2x^{2}-3x-1)=2x^{4}-3x^{3}-x^{2}+2ax^{3}-3ax^{2}-ax+2bx^{2}-3bx-b=2x^{4}+(2a-3)x^{3}+(-3a+2b-1)x^{2}+(-a-3b)x-b $，
![img alt=图片编号或题号(图片的具体编号或者所属题目的题号)]
$ \therefore $展开式中含$ x^{3} $的项为$ (2a-3)x^{3} $，含$ x^{2} $的项为$ (-3a+2b-1)x^{2} $，
由题意，得$ \begin{cases} 2a-3=-5, \\ -3a+2b-1=-6. \end{cases} $
解得$ \begin{cases} a=-1, \\ b=-4. \end{cases} $
(2)从第①步开始出现错误，还有第②、③步也出现错误．
(3)正确的解答过程如下：
$ \because (x^{2}+ax+b)(2x^{2}-3x-1)=2x^{4}-3x^{3}-x^{2}+2ax^{3}-3ax^{2}-ax+2bx^{2}-3bx-b=2x^{4}+(2a-3)x^{3}+(-3a+2b-1)x^{2}+(-a-3b)x-b $，
![img alt=图片编号或题号(图片的具体编号或者所属题目的题号)]
$ \therefore $展开式中含$ x^{3} $的项为$ (2a-3)x^{3} $，含$ x^{2} $的项为$ (-3a+2b-1)x^{2} $，
由题意，得$ \begin{cases} 2a-3=-5, \\ -3a+2b-1=-6. \end{cases} $
解得$ \begin{cases} a=-1, \\ b=-4. \end{cases} $
解析
【解析】
(1)先判断原解答过程，可知其不正确；
(2)分析错误环节：第①步展开多项式时，出现了错误项$-3bx^{6}$，且漏乘了$-x^{2}$、$-ax$项；第②步合并同类项时符号处理错误，对$x^3$和$x^2$项的系数合并有误；第③步依据错误的系数列方程组，解得的结果也错误；
(3)正确解答：先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后找到$x^3$和$x^2$项的系数，再根据对应项系数相等列二元一次方程组，最后解方程组求出$a$、$b$的值。
【答案】
(1)不正确；
(2)从第①步开始出现错误，第②、③步也有错误；
(3)正确解答过程：
$\because (x^{2}+ax+b)(2x^{2}-3x-1)$
$=2x^{4}-3x^{3}-x^{2}+2ax^{3}-3ax^{2}-ax+2bx^{2}-3bx-b$
$=2x^{4}+(2a-3)x^{3}+(-3a+2b-1)x^{2}+(-a-3b)x-b$
$\therefore$展开式中$x^{3}$项的系数为$2a-3$，$x^{2}$项的系数为$-3a+2b-1$
由题意得$\begin{cases}2a-3=-5\\-3a+2b-1=-6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=-4\end{cases}$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组
【点评】
本题重点考查多项式乘法法则的应用及二元一次方程组的求解，解题关键是准确展开多项式、正确合并同类项，避免漏乘和符号处理错误，依据对应项系数相等建立方程求解。
【难度系数】
0.6
(1)先判断原解答过程，可知其不正确；
(2)分析错误环节：第①步展开多项式时，出现了错误项$-3bx^{6}$，且漏乘了$-x^{2}$、$-ax$项；第②步合并同类项时符号处理错误，对$x^3$和$x^2$项的系数合并有误；第③步依据错误的系数列方程组，解得的结果也错误；
(3)正确解答：先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后找到$x^3$和$x^2$项的系数，再根据对应项系数相等列二元一次方程组，最后解方程组求出$a$、$b$的值。
【答案】
(1)不正确；
(2)从第①步开始出现错误，第②、③步也有错误；
(3)正确解答过程：
$\because (x^{2}+ax+b)(2x^{2}-3x-1)$
$=2x^{4}-3x^{3}-x^{2}+2ax^{3}-3ax^{2}-ax+2bx^{2}-3bx-b$
$=2x^{4}+(2a-3)x^{3}+(-3a+2b-1)x^{2}+(-a-3b)x-b$
$\therefore$展开式中$x^{3}$项的系数为$2a-3$，$x^{2}$项的系数为$-3a+2b-1$
由题意得$\begin{cases}2a-3=-5\\-3a+2b-1=-6\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=-4\end{cases}$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组
【点评】
本题重点考查多项式乘法法则的应用及二元一次方程组的求解，解题关键是准确展开多项式、正确合并同类项，避免漏乘和符号处理错误，依据对应项系数相等建立方程求解。
【难度系数】
0.6
