1. 下列各式中，一定是二次根式的是()

A.$\sqrt{m}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{-7}$
D.$\sqrt[3]{5}$

B

二次根式的定义是形如$\sqrt{a}$的式子，且$a ≥ 0$。
A选项中的$m$可能小于0，无法保证是二次根式；
B选项中$3 ＞ 0$，所以$\sqrt{3}$一定是二次根式；
C选项中$-7 ＜ 0$，无意义；
D选项是三次根式，不是二次根式。

2. 若式子$\sqrt{x - 1}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是()

A.$x＞1$
B.$x≥ 1$
C.$x≥ -1$
D.$x≤ 1$

B

根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零，即：$x - 1 ≥ 0$，解这个不等式得到：$x ≥ 1$。

3. 当$x = - 3$时，下列各式没有意义的是()

A.$\sqrt{|x - 1|}$

B.$\sqrt{-\dfrac{1}{2}x}$
C.$\sqrt{2 + x}$
D.$\sqrt{2 - x}$

C

要确定二次根式是否有意义，需要确保被开方数非负。
分别将 $x = -3$ 代入各选项，判断被开方数的正负：
A. $\sqrt{|x - 1|}$：
将 $x = -3$ 代入，得 $\sqrt{|-3 - 1|} = \sqrt{4} = 2$，有意义。
B. $\sqrt{-\frac{1}{2}x}$：
将 $x = -3$ 代入，得 $\sqrt{-\frac{1}{2} × (-3)} = \sqrt{\frac{3}{2}}$，有意义。
C. $\sqrt{2 + x}$：
将 $x = -3$ 代入，得 $\sqrt{2 + (-3)} = \sqrt{-1}$，无意义。
D. $\sqrt{2 - x}$：
将 $x = -3$ 代入，得 $\sqrt{2 - (-3)} = \sqrt{5}$，有意义。
因此，当 $x = -3$ 时，没有意义的是 $\sqrt{2 + x}$。

4. 已知大正方形的面积是小正方形面积的$2$倍，如果小正方形的面积是$S$，那么大正方形的边长是.

$\sqrt{2S}$

根据题意，小正方形的面积为$S$，则大正方形的面积为$2S$。
设大正方形的边长为$a$，则：
$a^2 = 2S$
解得：
$a = \sqrt{2S}$
因为边长为正数，所以取正值。

5. 当$x = 25$时，$\sqrt{\dfrac{x + 2}{3}}$的值是.

当$x = 25$时，
$\begin{aligned}\sqrt{\dfrac{x + 2}{3}}&=\sqrt{\dfrac{25 + 2}{3}}\\&=\sqrt{\dfrac{27}{3}}\\&=\sqrt{9}\\&=3\end{aligned}$
3

6. 若$\sqrt{24n}$是整数，则正整数$n$的最小值为.

6

要使$\sqrt{24n}$是整数，需先将$24n$化为最简二次根式的被开方数形式。
$24n = 4×6n = 2^2×6n$，其中$4 = 2^2$是完全平方数。
要使$\sqrt{24n}$为整数，则$6n$必须是完全平方数。$6 = 2×3$，所以$6n = 2×3×n$，要使其为完全平方数，$n$至少需包含质因数$2$和$3$，即$n = 2×3 = 6$。
此时$24n = 24×6 = 144 = 12^2$，$\sqrt{144} = 12$是整数。
故正整数$n$的最小值为$6$。

7. 当$a = 2$，$b = - 1$，$c = - 1$时，代数式$\dfrac{-b - \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$的值为.

当$a = 2$，$b = - 1$，$c = - 1$时，
$\begin{aligned}&\dfrac{-b - \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\\=&\dfrac{-(-1) - \sqrt{(-1)^{2} - 4×2×(-1)}}{2×2}\\=&\dfrac{1 - \sqrt{1 + 8}}{4}\\=&\dfrac{1 - \sqrt{9}}{4}\\=&\dfrac{1 - 3}{4}\\=&\dfrac{-2}{4}\\=&-\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
$-\dfrac{1}{2}$