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5. 把下列不等式化成 $ x ＞ a $ 或 $ x ≥ a $ 或 $ x ＜ a $ 或 $ x ≤ a $（$ a $ 为常数）的形式：
（1）$ x - 10 ＜ -6 $；
（2）$ -\dfrac{1}{3}x ＞ -2 $；
（3）$ \dfrac{1}{2}x ＞ -3 $；
（4）$ 1 - x ≥ 2 + x $.
（1）$ x - 10 ＜ -6 $；
（2）$ -\dfrac{1}{3}x ＞ -2 $；
（3）$ \dfrac{1}{2}x ＞ -3 $；
（4）$ 1 - x ≥ 2 + x $.
答案
（1）$x - 10 ＜ -6$，
不等式两边同时加10：$x ＜ -6 + 10$，
解得：$x ＜ 4$。
（2）$-\dfrac{1}{3}x ＞ -2$，
不等式两边同时乘以-3，不等号方向改变：$x ＜ 6$。
（3）$\dfrac{1}{2}x ＞ -3$，
不等式两边同时乘以2：$x ＞ -6$。
（4）$1 - x ≥ 2 + x$，
将所有项移到不等式的一侧：$1 - 2 ≥ x + x$，
合并同类项：$-1 ≥ 2x$，
不等式两边同时除以2：$x ≤ -\dfrac{1}{2}$。
不等式两边同时加10：$x ＜ -6 + 10$，
解得：$x ＜ 4$。
（2）$-\dfrac{1}{3}x ＞ -2$，
不等式两边同时乘以-3，不等号方向改变：$x ＜ 6$。
（3）$\dfrac{1}{2}x ＞ -3$，
不等式两边同时乘以2：$x ＞ -6$。
（4）$1 - x ≥ 2 + x$，
将所有项移到不等式的一侧：$1 - 2 ≥ x + x$，
合并同类项：$-1 ≥ 2x$，
不等式两边同时除以2：$x ≤ -\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
要将这些不等式化为指定形式，核心是运用不等式的基本性质对不等式进行变形。对于每个小题：（1）通过在不等式两边同时加10，消去左边的常数项，即可得到x的范围；（2）需在两边同时乘以-3，注意乘负数时不等号方向要改变；（3）两边同时乘以2，将x的系数化为1；（4）先通过移项把含x的项和常数项分别移到不等式两侧，移项要变号，再合并同类项，最后将x的系数化为1得到结果。
【解析】
（1）$x - 10 ＜ -6$，
根据不等式基本性质1，不等式两边同时加10：$x ＜ -6 + 10$，
计算得：$x ＜ 4$。
（2）$-\dfrac{1}{3}x ＞ -2$，
根据不等式基本性质3（不等式两边乘负数，不等号方向改变），两边同时乘以-3：$x ＜ (-2)×(-3)$，
计算得：$x ＜ 6$。
（3）$\dfrac{1}{2}x ＞ -3$，
根据不等式基本性质2，不等式两边同时乘以2：$x ＞ -3×2$，
计算得：$x ＞ -6$。
（4）$1 - x ≥ 2 + x$，
移项（移项变号）：$1 - 2 ≥ x + x$，
合并同类项：$-1 ≥ 2x$，
根据不等式基本性质2，两边同时除以2：$x ≤ -\dfrac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{x ＜ 4}$；
（2）$\boldsymbol{x ＜ 6}$；
（3）$\boldsymbol{x ＞ -6}$；
（4）$\boldsymbol{x ≤ -\dfrac{1}{2}}$。
【知识点】
不等式的基本性质，解一元一次不等式
【点评】
本题考查简单一元一次不等式的求解，重点在于熟练运用不等式的基本性质，尤其要牢记：当不等式两边乘或除以负数时，不等号方向必须改变；移项过程中要注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.9
要将这些不等式化为指定形式，核心是运用不等式的基本性质对不等式进行变形。对于每个小题：（1）通过在不等式两边同时加10，消去左边的常数项，即可得到x的范围；（2）需在两边同时乘以-3，注意乘负数时不等号方向要改变；（3）两边同时乘以2，将x的系数化为1；（4）先通过移项把含x的项和常数项分别移到不等式两侧，移项要变号，再合并同类项，最后将x的系数化为1得到结果。
【解析】
（1）$x - 10 ＜ -6$，
根据不等式基本性质1，不等式两边同时加10：$x ＜ -6 + 10$，
计算得：$x ＜ 4$。
（2）$-\dfrac{1}{3}x ＞ -2$，
根据不等式基本性质3（不等式两边乘负数，不等号方向改变），两边同时乘以-3：$x ＜ (-2)×(-3)$，
计算得：$x ＜ 6$。
（3）$\dfrac{1}{2}x ＞ -3$，
根据不等式基本性质2，不等式两边同时乘以2：$x ＞ -3×2$，
计算得：$x ＞ -6$。
（4）$1 - x ≥ 2 + x$，
移项（移项变号）：$1 - 2 ≥ x + x$，
合并同类项：$-1 ≥ 2x$，
根据不等式基本性质2，两边同时除以2：$x ≤ -\dfrac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{x ＜ 4}$；
（2）$\boldsymbol{x ＜ 6}$；
（3）$\boldsymbol{x ＞ -6}$；
（4）$\boldsymbol{x ≤ -\dfrac{1}{2}}$。
【知识点】
不等式的基本性质，解一元一次不等式
【点评】
本题考查简单一元一次不等式的求解，重点在于熟练运用不等式的基本性质，尤其要牢记：当不等式两边乘或除以负数时，不等号方向必须改变；移项过程中要注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.9
6. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 三个数在数轴上的对应点如图所示，用“＞”或“＜”号填空.
(1)$ a $$ 0 $；
(2)$ c $$ 0 $；
(3)$ a $$ b $；
(4)$ ac $$ bc $；
(5)$ a^{2} \_\_\_\_\_\_ ab $；
(6)$ ac^{2} \_\_\_\_\_\_ bc^{2} $.
(1)$ a $$ 0 $；
(2)$ c $$ 0 $；
(3)$ a $$ b $；
(4)$ ac $$ bc $；
(5)$ a^{2} \_\_\_\_\_\_ ab $；
(6)$ ac^{2} \_\_\_\_\_\_ bc^{2} $.
答案
(1)＜；(2)＞；(3)＜；(4)＜；(5)＞；(6)＜
解析
由数轴得：a ＜ b ＜ 0 ＜ c。
(1)a在原点左侧，所以a ＜ 0；
(2)c在原点右侧，所以c ＞ 0；
(3)数轴上a在b左侧，所以a ＜ b；
(4)a ＜ b，c ＞ 0，不等式两边乘正数，不等号方向不变，所以ac ＜ bc；
(5)a ＜ 0，a ＜ b，不等式两边乘负数a，不等号方向改变，所以a² ＞ ab；
(6)c ≠ 0，c² ＞ 0，a ＜ b，不等式两边乘正数c²，不等号方向不变，所以ac² ＜ bc²。
(1)a在原点左侧，所以a ＜ 0；
(2)c在原点右侧，所以c ＞ 0；
(3)数轴上a在b左侧，所以a ＜ b；
(4)a ＜ b，c ＞ 0，不等式两边乘正数，不等号方向不变，所以ac ＜ bc；
(5)a ＜ 0，a ＜ b，不等式两边乘负数a，不等号方向改变，所以a² ＞ ab；
(6)c ≠ 0，c² ＞ 0，a ＜ b，不等式两边乘正数c²，不等号方向不变，所以ac² ＜ bc²。
7. 已知 $ a ＜ 0 $，请用两种不同的方法比较 $ 2a $ 与 $ a $ 的大小.
答案
方法一：作差法
$2a - a = a$，
因为 $a ＜ 0$，
所以 $2a - a ＜ 0$，
即 $2a ＜ a$。
方法二：不等式基本性质
因为 $a ＜ 0$，
不等式两边同时加 $a$（不等式基本性质1），
得 $a + a ＜ 0 + a$，
即 $2a ＜ a$。
结论：$2a ＜ a$
$2a - a = a$，
因为 $a ＜ 0$，
所以 $2a - a ＜ 0$，
即 $2a ＜ a$。
方法二：不等式基本性质
因为 $a ＜ 0$，
不等式两边同时加 $a$（不等式基本性质1），
得 $a + a ＜ 0 + a$，
即 $2a ＜ a$。
结论：$2a ＜ a$
解析
【分析】
要比较$2a$与$a$的大小，可从两种经典思路展开：
1. 作差法思路：比较两个数（或代数式）大小的核心方法之一是作差，通过判断差的正负来确定大小关系。若差小于0，则被减数小于减数；若差大于0，则被减数大于减数。这里计算$2a - a$，结合已知$a＜0$即可判断差的正负，进而得出结论。
2. 不等式性质思路：借助不等式的基本性质，对已知的不等式$a＜0$进行合理变形。利用“不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变”的性质，在不等式两边同时加$a$，直接推导出$2a$与$a$的大小关系。
【解析】
方法一：作差法
$2a - a = a$，
因为 $a ＜ 0$，
所以 $2a - a ＜ 0$，
即 $2a ＜ a$。
方法二：利用不等式基本性质
因为 $a ＜ 0$，
根据不等式基本性质1（不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变），
在不等式两边同时加$a$，得：
$a + a ＜ 0 + a$，
即 $2a ＜ a$。
【答案】
$2a ＜ a$
【知识点】
作差法比较大小、不等式基本性质1
【点评】
本题考查代数式大小比较的基础方法，作差法是通用且高效的比较方法，适用于多数代数式大小比较场景；利用不等式基本性质则是结合已知条件进行定向变形，逻辑清晰。两种方法均为初中数学比较大小的核心方法，需熟练掌握，为后续复杂代数式的大小比较积累思路。
【难度系数】
0.8
要比较$2a$与$a$的大小，可从两种经典思路展开：
1. 作差法思路：比较两个数（或代数式）大小的核心方法之一是作差，通过判断差的正负来确定大小关系。若差小于0，则被减数小于减数；若差大于0，则被减数大于减数。这里计算$2a - a$，结合已知$a＜0$即可判断差的正负，进而得出结论。
2. 不等式性质思路：借助不等式的基本性质，对已知的不等式$a＜0$进行合理变形。利用“不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变”的性质，在不等式两边同时加$a$，直接推导出$2a$与$a$的大小关系。
【解析】
方法一：作差法
$2a - a = a$，
因为 $a ＜ 0$，
所以 $2a - a ＜ 0$，
即 $2a ＜ a$。
方法二：利用不等式基本性质
因为 $a ＜ 0$，
根据不等式基本性质1（不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变），
在不等式两边同时加$a$，得：
$a + a ＜ 0 + a$，
即 $2a ＜ a$。
【答案】
$2a ＜ a$
【知识点】
作差法比较大小、不等式基本性质1
【点评】
本题考查代数式大小比较的基础方法，作差法是通用且高效的比较方法，适用于多数代数式大小比较场景；利用不等式基本性质则是结合已知条件进行定向变形，逻辑清晰。两种方法均为初中数学比较大小的核心方法，需熟练掌握，为后续复杂代数式的大小比较积累思路。
【难度系数】
0.8
