16. (本小题 10 分)如图,在 $△ ABC$ 中,$∠ C = 90^{\circ}$,$AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$,过点 $D$ 作 $DE // AC$ 交 $AB$ 于点 $E$.
(1) 求证:$AE = DE$;
(2) 若 $AC = 3$,$AD = 2\sqrt{3}$,求 $AE$ 的长.

(1) 见证明过程；(2) 2。

(1) 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD。
∵DE//AC，∴∠CAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等）。
∴∠EAD=∠ADE，∴AE=DE（等角对等边）。
(2) 解：在Rt△ACD中，AC=3，AD=2√3，由勾股定理得：
CD²=AD²-AC²=(2√3)²-3²=12-9=3，∴CD=√3。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，过D作DF⊥AB于F，则DF=CD=√3（角平分线性质）。
在Rt△ACD中，cos∠CAD=AC/AD=3/(2√3)=√3/2，∴∠CAD=30°，则∠BAC=2∠CAD=60°，∠B=30°。
∵DE//AC，∴∠BED=∠BAC=60°，∠EDB=∠C=90°。
设AE=DE=x，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BE=2DE=2x（30°角所对直角边是斜边一半），∴AB=AE+BE=3x。
在Rt△ABC中，cos∠BAC=AC/AB，即cos60°=3/(3x)=1/x，∵cos60°=1/2，∴1/x=1/2，解得x=2。
∴AE=2。

17. (本小题 10 分)如图,在 $△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90^{\circ}$,$AB = 10$ cm,$AC = 6$ cm.动点 $P$ 从点 $B$ 出发,沿射线 $BC$ 以 $1$ cm/s 的速度运动,设运动的时间为 $t$ s,连接 $PA$.当 $△ ABP$ 为等腰三角形时,求 $t$ 的值.

在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$。动点$P$从$B$出发沿射线$BC$运动，速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$BP=t\ \mathrm{cm}$，$P$点坐标可表示为$(-8+t,0)$（以$C$为原点，$BC$为$x$轴，$AC$为$y$轴建立坐标系，$A(0,6)$，$B(-8,0)$）。
情况1：$AB=AP$
$AB=10\ \mathrm{cm}$，则$AP=10\ \mathrm{cm}$。
$AP^2=(0-(-8+t))^2+(6-0)^2=(t-8)^2+36=10^2$，
即$(t-8)^2=64$，解得$t-8=\pm8$，$t=16$或$t=0$（$t=0$时$P$与$B$重合，舍去），故$t=16$。
情况2：$AB=BP$
$AB=10\ \mathrm{cm}$，则$BP=10\ \mathrm{cm}$，即$t=10$。
情况3：$AP=BP$
$AP^2=(t-8)^2+36$，$BP^2=t^2$，
则$(t-8)^2+36=t^2$，化简得$-16t+100=0$，解得$t=\frac{25}{4}$。
综上，$t$的值为$\frac{25}{4}\ \mathrm{s}$，$10\ \mathrm{s}$，$16\ \mathrm{s}$。
$\boxed{\frac{25}{4}, 10, 16}$