登录
6. 画出下列函数的图像，并写出图像与 $ x $ 轴交点的横坐标。
（1） $ y = -2x(x - 4) $；
（2） $ y = (x + 2)(x - 3) $。
（1） $ y = -2x(x - 4) $；
（2） $ y = (x + 2)(x - 3) $。
答案
解：如图所示
(1)图像与x轴交点的横坐标为0、4
(2)图像与x轴交点的横坐标为-2、3
解析
【解析】
要确定二次函数图像与$x$轴交点的横坐标，可令$y=0$，解对应的一元二次方程：
(1) 对于函数$y = -2x(x - 4)$，令$y=0$，则$-2x(x - 4)=0$，解得$x=0$或$x=4$；该函数为开口向下的抛物线，可通过确定顶点、与坐标轴交点等关键点绘制图像（图像参考给出的示意图）。
(2) 对于函数$y = (x + 2)(x - 3)$，令$y=0$，则$(x + 2)(x - 3)=0$，解得$x=-2$或$x=3$；该函数为开口向上的抛物线，可通过确定顶点、与坐标轴交点等关键点绘制图像（图像参考给出的示意图）。
【答案】
(1) 图像与$x$轴交点的横坐标为0、4；
(2) 图像与$x$轴交点的横坐标为-2、3。
【知识点】
二次函数与x轴交点、解一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数与$x$轴交点的求法，通过将函数问题转化为解一元二次方程，体现了函数与方程的联系，同时需掌握二次函数图像的绘制方法。
要确定二次函数图像与$x$轴交点的横坐标，可令$y=0$，解对应的一元二次方程：
(1) 对于函数$y = -2x(x - 4)$，令$y=0$，则$-2x(x - 4)=0$，解得$x=0$或$x=4$；该函数为开口向下的抛物线，可通过确定顶点、与坐标轴交点等关键点绘制图像（图像参考给出的示意图）。
(2) 对于函数$y = (x + 2)(x - 3)$，令$y=0$，则$(x + 2)(x - 3)=0$，解得$x=-2$或$x=3$；该函数为开口向上的抛物线，可通过确定顶点、与坐标轴交点等关键点绘制图像（图像参考给出的示意图）。
【答案】
(1) 图像与$x$轴交点的横坐标为0、4；
(2) 图像与$x$轴交点的横坐标为-2、3。
【知识点】
二次函数与x轴交点、解一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数与$x$轴交点的求法，通过将函数问题转化为解一元二次方程，体现了函数与方程的联系，同时需掌握二次函数图像的绘制方法。
7. 已知二次函数的图像经过点 $ (0, -3) $、 $ (3, 0) $、 $ (4, 5) $，求这个二次函数的表达式。
答案
解：设函数表达式为$y=ax^2+bx-3$
将点(3，0)、(4，5)代入
得$\begin{cases}{9a+3b-3=0}\\{16a+4b-3=5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}{a=1}\\{b=-2}\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$
将点(3，0)、(4，5)代入
得$\begin{cases}{9a+3b-3=0}\\{16a+4b-3=5}\end{cases}$，解得$\begin{cases}{a=1}\\{b=-2}\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$
解析
【解析】
设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx-3$（因函数图像过点$(0,-3)$，故常数项$c=-3$），将点$(3,0)$、$(4,5)$代入表达式，得到方程组：
$\begin{cases}9a+3b-3=0\\16a+4b-3=5\end{cases}$
解此方程组，得$\begin{cases}a=1\\b=-2\end{cases}$
因此，二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
待定系数法求二次函数表达式、解二元一次方程组
【点评】
本题考查待定系数法求二次函数表达式，利用函数图像上的点满足函数解析式列方程组求解，结合已知点合理设表达式可简化计算。
设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx-3$（因函数图像过点$(0,-3)$，故常数项$c=-3$），将点$(3,0)$、$(4,5)$代入表达式，得到方程组：
$\begin{cases}9a+3b-3=0\\16a+4b-3=5\end{cases}$
解此方程组，得$\begin{cases}a=1\\b=-2\end{cases}$
因此，二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
待定系数法求二次函数表达式、解二元一次方程组
【点评】
本题考查待定系数法求二次函数表达式，利用函数图像上的点满足函数解析式列方程组求解，结合已知点合理设表达式可简化计算。
8. 平移二次函数 $ y = 2x^{2} $ 的图像，使其经过点 $ (1, 3) $、 $ (4, 9) $，求平移后的函数图像相应的函数表达式。
答案
解：设平移后的函数表达式为$y=2(x+m)^2+n$
把(1，3)、(4，9)代入
得$\begin{cases}{2(1+m)^2+n=3}\\{2(4+m)^2+n=9}\end{cases}$，解得$\begin{cases}{m=-2}\\{n=1}\end{cases}$
∴函数表达式为$y=2(x-2)^2+1$，即$y=2x^2-8x+9$
把(1，3)、(4，9)代入
得$\begin{cases}{2(1+m)^2+n=3}\\{2(4+m)^2+n=9}\end{cases}$，解得$\begin{cases}{m=-2}\\{n=1}\end{cases}$
∴函数表达式为$y=2(x-2)^2+1$，即$y=2x^2-8x+9$
解析
【解析】
设平移后的函数表达式为$y=2(x+m)^2+n$，将点$(1, 3)$、$(4, 9)$代入表达式，得到方程组：
$\begin{cases}2(1+m)^2+n=3\\2(4+m)^2+n=9\end{cases}$
解该方程组，得$\begin{cases}{m=-2}\\{n=1}\end{cases}$
因此平移后的函数表达式为$y=2(x-2)^2+1$，即$y=2x^2-8x+9$。
【答案】
$y=2(x-2)^2+1$（或$y=2x^2-8x+9$）
【知识点】
二次函数的平移变换、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题可利用平移不改变二次函数二次项系数的特点，设顶点式解析式，通过待定系数法代入已知点构建方程组求解，是解决此类问题的常规方法，步骤清晰简洁。
设平移后的函数表达式为$y=2(x+m)^2+n$，将点$(1, 3)$、$(4, 9)$代入表达式，得到方程组：
$\begin{cases}2(1+m)^2+n=3\\2(4+m)^2+n=9\end{cases}$
解该方程组，得$\begin{cases}{m=-2}\\{n=1}\end{cases}$
因此平移后的函数表达式为$y=2(x-2)^2+1$，即$y=2x^2-8x+9$。
【答案】
$y=2(x-2)^2+1$（或$y=2x^2-8x+9$）
【知识点】
二次函数的平移变换、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题可利用平移不改变二次函数二次项系数的特点，设顶点式解析式，通过待定系数法代入已知点构建方程组求解，是解决此类问题的常规方法，步骤清晰简洁。
