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一、选择题
1. 2025 年 10 月 31 日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号 F 遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，三名航天员顺利进入太空，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案为中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
1. 2025 年 10 月 31 日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号 F 遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，三名航天员顺利进入太空，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功。下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案为中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
答案
【解析】：首先需要明确什么是中心对称图形，中心对称图形是图形绕某一点旋转160°（此处应为180°，根据题目实际考察内容应为180°）后与原图重合的图形。
然后依次分析每个选项：
选项A：中国航天图标文字上方的图案绕任何一点旋转$180°$后，都不能与原图形重合，不是中心对称图形。
选项B：中国火箭图标文字上方的图案绕某一点旋转$180°$后能与原图形重合，是中心对称图形。
选项C：中国行星探测图标文字上方的图案绕任何一点旋转$180°$后，都不能与原图形重合，不是中心对称图形。
选项D：中国探月图标文字上方的图案绕任何一点旋转$180°$后，都不能与原图形重合，不是中心对称图形。
【答案】：B
然后依次分析每个选项：
选项A：中国航天图标文字上方的图案绕任何一点旋转$180°$后，都不能与原图形重合，不是中心对称图形。
选项B：中国火箭图标文字上方的图案绕某一点旋转$180°$后能与原图形重合，是中心对称图形。
选项C：中国行星探测图标文字上方的图案绕任何一点旋转$180°$后，都不能与原图形重合，不是中心对称图形。
选项D：中国探月图标文字上方的图案绕任何一点旋转$180°$后，都不能与原图形重合，不是中心对称图形。
【答案】：B
解析
中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合。选项A图案旋转180°后不重合；选项B图案旋转180°后不重合；选项C图案旋转180°后不重合；选项D图案旋转180°后与原图形重合。
2. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是()
A.$ m(x + y) = mx + my $
B.$ x^2 - 4 + 3x = (x + 2)(x - 2) + 3 $
C.$ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 $
D.$ x^3 - x = x(x + 1)(x - 1) $
A.$ m(x + y) = mx + my $
B.$ x^2 - 4 + 3x = (x + 2)(x - 2) + 3 $
C.$ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 $
D.$ x^3 - x = x(x + 1)(x - 1) $
答案
D
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
A选项，是单项式乘多项式，是整式的乘法，不是因式分解；
B选项，$(x + 2)(x - 2)+3x$没有化为几个整式的积的形式，不是因式分解；
C选项，是多项式乘多项式，是整式的乘法，不是因式分解；
D选项，把$x^3 - x$化为了$x(x + 1)(x - 1)$，是因式分解。
A选项，是单项式乘多项式，是整式的乘法，不是因式分解；
B选项，$(x + 2)(x - 2)+3x$没有化为几个整式的积的形式，不是因式分解；
C选项，是多项式乘多项式，是整式的乘法，不是因式分解；
D选项，把$x^3 - x$化为了$x(x + 1)(x - 1)$，是因式分解。
3. 已知 $ a ＜ b $，下列不等式变形不正确的是()
A.$ a + 2 ＜ b + 2 $
B.$ 3a ＜ 3b $
C.$ -2a ＜ -2b $
D.$ 2a - 1 ＜ 2b - 1 $
A.$ a + 2 ＜ b + 2 $
B.$ 3a ＜ 3b $
C.$ -2a ＜ -2b $
D.$ 2a - 1 ＜ 2b - 1 $
答案
C
解析
对于选项A，根据不等式的基本性质1，两边同时加2，不等号方向不变，因为$a ＜ b$，所以$a + 2 ＜ b + 2$成立。
对于选项B，根据不等式的基本性质2，两边同时乘3，不等号方向不变，因为$a ＜ b$，所以$3a ＜ 3b$成立。
对于选项C，根据不等式的基本性质3，两边同时乘-2，不等号方向改变，因为$a ＜ b$，所以$-2a ＞ -2b$，原式不成立。
对于选项D，根据不等式的基本性质2，两边同时乘2，不等号方向不变，得$2a ＜ 2b$，再根据不等式的基本性质1，两边同时减1，不等号方向不变，因为$2a ＜ 2b$，所以$2a - 1 ＜ 2b - 1$成立。
对于选项B，根据不等式的基本性质2，两边同时乘3，不等号方向不变，因为$a ＜ b$，所以$3a ＜ 3b$成立。
对于选项C，根据不等式的基本性质3，两边同时乘-2，不等号方向改变，因为$a ＜ b$，所以$-2a ＞ -2b$，原式不成立。
对于选项D，根据不等式的基本性质2，两边同时乘2，不等号方向不变，得$2a ＜ 2b$，再根据不等式的基本性质1，两边同时减1，不等号方向不变，因为$2a ＜ 2b$，所以$2a - 1 ＜ 2b - 1$成立。
4. 如图，在 $ □ ABCD $ 中，$ AB = 10 $，$ AD = 8 $，$ AC ⊥ BC $ 于点 $ C $，$ AC $，$ BD $ 交于点 $ O $，则 $ □ ABCD $ 的面积为()
A.80
B.40
C.48
D.24
A.80
B.40
C.48
D.24
答案
C
解析
在□ABCD中，BC=AD=8。因为AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形。根据勾股定理，AC=√(AB²-BC²)=√(10²-8²)=6。□ABCD的面积=BC×AC=8×6=48。
5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ ABCD $ 为平行四边形。若点 $ A $ 的坐标为 $ (-1, 3) $，根据图中保留的作图痕迹判断点 $ E $ 的坐标为( )
A.$ (\sqrt{10}, 0) $
B.$ (0, \sqrt{10}) $
C.$ (3, 0) $
D.$ (0, 3) $
A.$ (\sqrt{10}, 0) $
B.$ (0, \sqrt{10}) $
C.$ (3, 0) $
D.$ (0, 3) $
答案
A
解析
6. 提升题 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $，$ ∠ ABC = 2∠ C $，$ BE $ 平分 $ ∠ ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，$ AD ⊥ BE $ 于点 $ D $。下列结论：① $ AC - BE = AE $；②点 $ E $ 在线段 $ BC $ 的垂直平分线上；③ $ ∠ DAE = ∠ C $；④ $ BC = 4AD $。其中正确的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
在$△ABC$中，$∠BAC=90^{\circ}$，$∠ABC=2∠C$，则$∠ABC=60^{\circ}$，$∠C=30^{\circ}$。$BE$平分$∠ABC$，故$∠ABE=∠EBC=30^{\circ}$。
①设$AE=x$，在$Rt△ABE$中，$∠ABE=30^{\circ}$，则$BE=2AE=2x$。$∠AEB=60^{\circ}$，$AB=AE\tan60^{\circ}=\sqrt{3}x$。在$Rt△ABC$中，$∠C=30^{\circ}$，$AB=\frac{1}{2}BC$，设$BC=2a$，则$AB=a=\sqrt{3}x$，$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{3}a=3x$。故$AC-BE=3x-2x=x=AE$，①正确。
②在$△EBC$中，$∠EBC=∠C=30^{\circ}$，则$EB=EC$，故点$E$在$BC$的垂直平分线上，②正确。
③$AD⊥BE$，$∠ADE=90^{\circ}$，$∠AED=∠AEB=60^{\circ}$，则$∠DAE=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}=∠C$，③正确。
④在$Rt△ABD$中，$∠ABD=30^{\circ}$，$AB=a$，则$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$，$BC=2a=4AD$，④正确。
①设$AE=x$，在$Rt△ABE$中，$∠ABE=30^{\circ}$，则$BE=2AE=2x$。$∠AEB=60^{\circ}$，$AB=AE\tan60^{\circ}=\sqrt{3}x$。在$Rt△ABC$中，$∠C=30^{\circ}$，$AB=\frac{1}{2}BC$，设$BC=2a$，则$AB=a=\sqrt{3}x$，$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{3}a=3x$。故$AC-BE=3x-2x=x=AE$，①正确。
②在$△EBC$中，$∠EBC=∠C=30^{\circ}$，则$EB=EC$，故点$E$在$BC$的垂直平分线上，②正确。
③$AD⊥BE$，$∠ADE=90^{\circ}$，$∠AED=∠AEB=60^{\circ}$，则$∠DAE=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}=∠C$，③正确。
④在$Rt△ABD$中，$∠ABD=30^{\circ}$，$AB=a$，则$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$，$BC=2a=4AD$，④正确。
