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一、选择题
1. 多项式 $ m^{2}(a - 3) + m(3 - a) $ 因式分解的结果为()
A. $ (a - 3)(m^{2} + m) $
B. $ (a - 3)(m^{2} - m) $
C. $ m(a - 3)(m - 1) $
D. $ m(a - 3)(m + 1) $
1. 多项式 $ m^{2}(a - 3) + m(3 - a) $ 因式分解的结果为()
A. $ (a - 3)(m^{2} + m) $
B. $ (a - 3)(m^{2} - m) $
C. $ m(a - 3)(m - 1) $
D. $ m(a - 3)(m + 1) $
答案
C
解析
本题可先将多项式变形，找出公因式，再提取公因式进行因式分解。
步骤一：对原式进行变形
观察原式$m^{2}(a - 3) + m(3 - a)$，发现$3 - a$与$a - 3$互为相反数，即$3 - a=-(a - 3)$，那么原式可化为$m^{2}(a - 3) - m(a - 3)$。
步骤二：提取公因式$m(a - 3)$
在$m^{2}(a - 3) - m(a - 3)$中，公因式为$m(a - 3)$，提取公因式可得：
$m^{2}(a - 3) - m(a - 3)=m(a - 3)(m - 1)$
步骤一：对原式进行变形
观察原式$m^{2}(a - 3) + m(3 - a)$，发现$3 - a$与$a - 3$互为相反数，即$3 - a=-(a - 3)$，那么原式可化为$m^{2}(a - 3) - m(a - 3)$。
步骤二：提取公因式$m(a - 3)$
在$m^{2}(a - 3) - m(a - 3)$中，公因式为$m(a - 3)$，提取公因式可得：
$m^{2}(a - 3) - m(a - 3)=m(a - 3)(m - 1)$
2. 若 $ a $，$ b $，$ c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，则 $ a^{2} - (b - c)^{2} $ 的结果()
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
答案
A
解析
根据平方差公式：$a^{2} - (b - c)^{2} = (a + b - c)(a - b + c)$，
由于$a$，$b$，$c$是三角形的三边，根据三角形两边之和大于第三边可得：
$a + b - c ＞ 0$，$a - b + c ＞ 0$，
所以$(a + b - c)(a - b + c) ＞ 0$。
即$a^{2} - (b - c)^{2} ＞ 0$。
由于$a$，$b$，$c$是三角形的三边，根据三角形两边之和大于第三边可得：
$a + b - c ＞ 0$，$a - b + c ＞ 0$，
所以$(a + b - c)(a - b + c) ＞ 0$。
即$a^{2} - (b - c)^{2} ＞ 0$。
3. 多项式 $ 4x^{2} + 1 $ 加上一个数或单项式后，能使它成为一个多项式的完全平方，那么加上的数或单项式可以从①$ - 1 $，②$ 4x $，③$ - 4x $，④$ - 4x^{2} $，⑤$ 4x^{4} $ 中选取()
A.①
B.③
C.②③⑤
D.①②③④⑤
A.①
B.③
C.②③⑤
D.①②③④⑤
答案
C
解析
二、填空题
4. 若 $ x + 2 $ 是 $ x^{2} - 2x + m $ 的一个因式，则常数 $ m $ 的值为。
4. 若 $ x + 2 $ 是 $ x^{2} - 2x + m $ 的一个因式，则常数 $ m $ 的值为。
答案
由题意知，若$x + 2$是$x^{2} - 2x + m$的一个因式，那么当$x = -2$时，$x^{2} - 2x + m = 0$。
将$x = -2$代入$x^{2} - 2x + m = 0$，得到：
$(-2)^{2} - 2× (-2) + m = 0$
$4 + 4 + m = 0$
$m = -8$
故答案为：$-8$。
将$x = -2$代入$x^{2} - 2x + m = 0$，得到：
$(-2)^{2} - 2× (-2) + m = 0$
$4 + 4 + m = 0$
$m = -8$
故答案为：$-8$。
5. 因式分解：$ (5a - b)x^{2} - (5a - b)y^{2} = $。
答案
$(5a - b)(x + y)(x - y)$
解析
本题可先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解。
1. 提取公因式$(5a - b)$：
观察原式$(5a - b)x^{2} - (5a - b)y^{2}$，发现每一项都含有公因式$(5a - b)$，提取公因式可得$(5a - b)(x^{2} - y^{2})$。
2. 利用平方差公式继续分解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对于$x^{2} - y^{2}$，其中$a = x$，$b = y$，则$x^{2} - y^{2}=(x + y)(x - y)$。
将其代入上式可得$(5a - b)(x + y)(x - y)$。
1. 提取公因式$(5a - b)$：
观察原式$(5a - b)x^{2} - (5a - b)y^{2}$，发现每一项都含有公因式$(5a - b)$，提取公因式可得$(5a - b)(x^{2} - y^{2})$。
2. 利用平方差公式继续分解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对于$x^{2} - y^{2}$，其中$a = x$，$b = y$，则$x^{2} - y^{2}=(x + y)(x - y)$。
将其代入上式可得$(5a - b)(x + y)(x - y)$。
6. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长，且满足 $ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac = 0 $，则 $ △ ABC $ 是三角形。
答案
等边
解析
由题意，有$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac = 0$。
将等式两边都乘以2，得到：
$2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0$。
将上式进行分组和整理，得到：
$(a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (c^{2} - 2ac + a^{2}) = 0$。
上述每一步都可以写成完全平方的形式，即：
$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} = 0$。
由于平方项非负，上述等式成立的条件是每一项都等于0，即：
$a - b = 0$，$b - c = 0$，$c - a = 0$。
从上述三个等式中，可以得出：
$a = b = c$。
因此，三角形ABC是等边三角形。
将等式两边都乘以2，得到：
$2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0$。
将上式进行分组和整理，得到：
$(a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (c^{2} - 2ac + a^{2}) = 0$。
上述每一步都可以写成完全平方的形式，即：
$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} = 0$。
由于平方项非负，上述等式成立的条件是每一项都等于0，即：
$a - b = 0$，$b - c = 0$，$c - a = 0$。
从上述三个等式中，可以得出：
$a = b = c$。
因此，三角形ABC是等边三角形。
三、解答题
7. 把下列各式因式分解：
（1）$ a^{2}b - 2ab^{2} + b^{3} $；
（2）$ x^{2}(a - 1) + y^{2}(1 - a) $；
（3）$ (a - b)^{2} + 6(a - b) + 9 $；
（4）$ 2025^{2} - 4048 × 2025 + 2024^{2} $。
7. 把下列各式因式分解：
（1）$ a^{2}b - 2ab^{2} + b^{3} $；
（2）$ x^{2}(a - 1) + y^{2}(1 - a) $；
（3）$ (a - b)^{2} + 6(a - b) + 9 $；
（4）$ 2025^{2} - 4048 × 2025 + 2024^{2} $。
答案
（1）$\begin{aligned}a^{2}b - 2ab^{2} + b^{3} &= b(a^{2} - 2ab + b^{2}) \\&= b(a - b)^{2}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}x^{2}(a - 1) + y^{2}(1 - a) &= (a - 1)(x^{2} - y^{2}) \\&= (a - 1)(x + y)(x - y)\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}(a - b)^{2} + 6(a - b) + 9 &= (a - b + 3)^{2}\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}2025^{2} - 4048 × 2025 + 2024^{2} &= 2025^{2} - 2 × 2024 × 2025 + 2024^{2} \\&= (2025 - 2024)^{2} \\&= 1\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}x^{2}(a - 1) + y^{2}(1 - a) &= (a - 1)(x^{2} - y^{2}) \\&= (a - 1)(x + y)(x - y)\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}(a - b)^{2} + 6(a - b) + 9 &= (a - b + 3)^{2}\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}2025^{2} - 4048 × 2025 + 2024^{2} &= 2025^{2} - 2 × 2024 × 2025 + 2024^{2} \\&= (2025 - 2024)^{2} \\&= 1\end{aligned}$
8. 已知 $ a = \frac{1}{2}m + 1 $，$ b = \frac{3}{2}m + 2 $，$ c = 2m + 4 $，求 $ a^{2} + b^{2} + 2ab - 2c(a + b) + c^{2} $ 的值。
答案
解题步骤：
1. 观察代数式结构
原式为 $ a^{2} + b^{2} + 2ab - 2c(a + b) + c^{2} $，可变形为完全平方形式：
$ (a + b)^2 - 2c(a + b) + c^2 $，即 $ (a + b - c)^2 $。
2. 计算 $ a + b - c $
已知 $ a = \frac{1}{2}m + 1 $，$ b = \frac{3}{2}m + 2 $，$ c = 2m + 4 $，则：
$ a + b = (\frac{1}{2}m + 1) + (\frac{3}{2}m + 2) = 2m + 3 $
$ a + b - c = (2m + 3) - (2m + 4) = -1 $
3. 代入化简结果
$ (a + b - c)^2 = (-1)^2 = 1 $
最终结论：
$\boxed{1}$
1. 观察代数式结构
原式为 $ a^{2} + b^{2} + 2ab - 2c(a + b) + c^{2} $，可变形为完全平方形式：
$ (a + b)^2 - 2c(a + b) + c^2 $，即 $ (a + b - c)^2 $。
2. 计算 $ a + b - c $
已知 $ a = \frac{1}{2}m + 1 $，$ b = \frac{3}{2}m + 2 $，$ c = 2m + 4 $，则：
$ a + b = (\frac{1}{2}m + 1) + (\frac{3}{2}m + 2) = 2m + 3 $
$ a + b - c = (2m + 3) - (2m + 4) = -1 $
3. 代入化简结果
$ (a + b - c)^2 = (-1)^2 = 1 $
最终结论：
$\boxed{1}$
9. 提升题 如图，大正方形 $ A $ 的边长为 $ a $，小正方形 $ B $ 的边长为 $ b $，两个正方形重叠部分(阴影部分)的面积为 $ m $。
(1)用含 $ b $，$ m $ 的代数式表示正方形 $ B $ 中空白部分的面积 =；
(2)若 $ a + b = 8 $，$ a - b = 4 $，设正方形 $ A $ 中空白部分的面积为 $ S_{1} $，正方形 $ B $ 中空白部分的面积为 $ S_{2} $，求 $ S_{1} - S_{2} $ 的值。
(1)用含 $ b $，$ m $ 的代数式表示正方形 $ B $ 中空白部分的面积 =；
(2)若 $ a + b = 8 $，$ a - b = 4 $，设正方形 $ A $ 中空白部分的面积为 $ S_{1} $，正方形 $ B $ 中空白部分的面积为 $ S_{2} $，求 $ S_{1} - S_{2} $ 的值。
答案
(1)正方形 $ B $ 的面积为 $ b^2 $，
阴影部分的面积为 $ m $，
空白部分面积= $ b^2 - m $。
故答案为：$ b^2 - m $。
(2)由题意可知：
两个大正方形面积之差为 $ a^2 - b^2 $，
重叠部分面积为 $ m $，
所以 $ S_1 - S_2 $
$ = a^2 - m - (b^2 - m) $
$ = a^2 - m - b^2 + m $
$ = a^2 - b^2 $
$ = (a + b)(a - b) $
$ =8 × 4 $
$ = 32 $
故 $ S_1 - S_2 $ 的值为 $ 32 $。
阴影部分的面积为 $ m $，
空白部分面积= $ b^2 - m $。
故答案为：$ b^2 - m $。
(2)由题意可知：
两个大正方形面积之差为 $ a^2 - b^2 $，
重叠部分面积为 $ m $，
所以 $ S_1 - S_2 $
$ = a^2 - m - (b^2 - m) $
$ = a^2 - m - b^2 + m $
$ = a^2 - b^2 $
$ = (a + b)(a - b) $
$ =8 × 4 $
$ = 32 $
故 $ S_1 - S_2 $ 的值为 $ 32 $。
