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8. 把若干颗糖果分给几个小朋友，如果每人分得 $ 3 $ 颗，则多余 $ 8 $ 颗；如果每人分得 $ 5 $ 颗，则最后一人分到了糖果但不足 $ 5 $ 颗。一共有多少个小朋友？多少颗糖果？
答案
设一共有$x$个小朋友，则糖果的总数为$(3x + 8)$颗。
根据题意，当每人分得5颗糖果时，前$(x - 1)$个小朋友共分得$5(x - 1)$颗糖果，所以最后一个小朋友得到的糖果数为：
$3x + 8 - 5(x - 1)$
根据题意，这个数量是大于0且小于5的，所以：
$0 ＜ 3x + 8 - 5(x - 1) ＜ 5$
$0 ＜ 3x + 8 - 5x + 5 ＜ 5$
$0 ＜ 13 - 2x ＜ 5$
$-13 ＜ - 2x ＜ -8$
$4＜ x ＜ 6.5$
由于$x$必须是正整数，所以$x$的可能取值为$5$或$6$。
当$x = 5$时，糖果总数为$3 × 5 + 8 = 23$颗。此时，如果每人分5颗，前4个小朋友共分得20颗，最后一个小朋友得到3颗，满足题意。
当$x = 6$时，糖果总数为$3 × 6 + 8 = 26$颗。此时，如果每人分5颗，前5个小朋友共分得25颗，最后一个小朋友得到1颗，也满足题意。
答：一共有$5$个小朋友，$23$颗糖果或一共有$6$个小朋友，$26$颗糖果。
根据题意，当每人分得5颗糖果时，前$(x - 1)$个小朋友共分得$5(x - 1)$颗糖果，所以最后一个小朋友得到的糖果数为：
$3x + 8 - 5(x - 1)$
根据题意，这个数量是大于0且小于5的，所以：
$0 ＜ 3x + 8 - 5(x - 1) ＜ 5$
$0 ＜ 3x + 8 - 5x + 5 ＜ 5$
$0 ＜ 13 - 2x ＜ 5$
$-13 ＜ - 2x ＜ -8$
$4＜ x ＜ 6.5$
由于$x$必须是正整数，所以$x$的可能取值为$5$或$6$。
当$x = 5$时，糖果总数为$3 × 5 + 8 = 23$颗。此时，如果每人分5颗，前4个小朋友共分得20颗，最后一个小朋友得到3颗，满足题意。
当$x = 6$时，糖果总数为$3 × 6 + 8 = 26$颗。此时，如果每人分5颗，前5个小朋友共分得25颗，最后一个小朋友得到1颗，也满足题意。
答：一共有$5$个小朋友，$23$颗糖果或一共有$6$个小朋友，$26$颗糖果。
9. (2023 遂宁)若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}4(x - 1) ＞ 3x - 1, \\ 5x ＞ 3x + 2a\end{cases}$ 的解集为 $ x ＞ 3 $，则 $ a $ 的取值范围是( )。
A.$ a ＞ 3 $
B.$ a ＜ 3 $
C.$ a ≥ 3 $
D.$ a ≤ 3 $
A.$ a ＞ 3 $
B.$ a ＜ 3 $
C.$ a ≥ 3 $
D.$ a ≤ 3 $
答案
D
解析
解不等式$4(x - 1)＞3x - 1$，得$x＞3$；解不等式$5x＞3x + 2a$，得$x＞a$。因为不等式组的解集为$x＞3$，所以$a≤3$。
10. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - m ＜ 0, \\ 7 - 2x ≤ 1\end{cases}$ 的整数解共有 $ 4 $ 个，则 $ m $ 的取值范围是( )。
A.$ 6 ＜ m ＜ 7 $
B.$ 6 ＜ m ≤ 7 $
C.$ 6 ≤ m ＜ 7 $
D.$ 3 ≤ m ＜ 4 $
A.$ 6 ＜ m ＜ 7 $
B.$ 6 ＜ m ≤ 7 $
C.$ 6 ≤ m ＜ 7 $
D.$ 3 ≤ m ＜ 4 $
答案
B
解析
首先解不等式组：
$\begin{cases}x - m ＜ 0, \\7 - 2x ≤ 1.\end{cases}$
由$x - m ＜ 0$，可得$x ＜ m$。
由$7 - 2x ≤ 1$，移项可得$-2x≤1 - 7$，即$-2x≤ - 6$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得到$x≥3$。
所以不等式组的解集为$3≤ x ＜ m$。
已知不等式组的整数解共有$4$个，那么整数解为$3$，$4$，$5$，$6$。
所以$m$的取值范围是$6 ＜ m≤7$。
$\begin{cases}x - m ＜ 0, \\7 - 2x ≤ 1.\end{cases}$
由$x - m ＜ 0$，可得$x ＜ m$。
由$7 - 2x ≤ 1$，移项可得$-2x≤1 - 7$，即$-2x≤ - 6$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得到$x≥3$。
所以不等式组的解集为$3≤ x ＜ m$。
已知不等式组的整数解共有$4$个，那么整数解为$3$，$4$，$5$，$6$。
所以$m$的取值范围是$6 ＜ m≤7$。
11. 若不等式组 $\begin{cases}x - a ＞ 2, \\ b - 2x ＞ 0\end{cases}$ 的解集是 $ -1 ＜ x ＜ 1 $，则 $ (a + b)^{2026} $ 等于( )。
A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2024 $
A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 2024 $
答案
C
解析
首先解不等式组
$\begin{cases}x - a ＞ 2, \\b - 2x ＞ 0.\end{cases}$
将第一个不等式整理得：
$x ＞ a + 2$，
将第二个不等式整理得：
$x ＜ \frac{b}{2}$，
因此，不等式组的解集为：
$a + 2 ＜ x ＜ \frac{b}{2}$，
由题意知，该解集等于 $-1 ＜ x ＜ 1$，所以：
$a + 2 = -1$，
$\frac{b}{2} = 1$，
解得：
$a = -3$，
$b = 2$，
所以，
$(a + b)^{2026} = (-3 + 2)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
$\begin{cases}x - a ＞ 2, \\b - 2x ＞ 0.\end{cases}$
将第一个不等式整理得：
$x ＞ a + 2$，
将第二个不等式整理得：
$x ＜ \frac{b}{2}$，
因此，不等式组的解集为：
$a + 2 ＜ x ＜ \frac{b}{2}$，
由题意知，该解集等于 $-1 ＜ x ＜ 1$，所以：
$a + 2 = -1$，
$\frac{b}{2} = 1$，
解得：
$a = -3$，
$b = 2$，
所以，
$(a + b)^{2026} = (-3 + 2)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$。
12. 定义新运算：$ a \otimes b = 1 - ab $，则不等式组 $\begin{cases}x \otimes 2 ≤ 3, \\ (-\dfrac{1}{3}) \otimes x ＜ \dfrac{7}{3}\end{cases}$ 的最小整数解为 ______ 。
答案
$-1$
解析
根据定义的新运算$ a \otimes b = 1 - ab $，将不等式组进行变换。
对于第一个不等式：
$x \otimes 2 ≤ 3 \implies 1 - 2x ≤ 3$，
化简得到：
$-2x ≤ 2 \implies x ≥ -1$，
对于第二个不等式：
$ (-\frac{1}{3}) \otimes x ＜ \frac{7}{3} \implies 1 - (-\frac{1}{3}x) ＜ \frac{7}{3}$，
化简得到：
$1 + \frac{1}{3}x ＜ \frac{7}{3} \implies \frac{1}{3}x ＜ \frac{4}{3} \implies x ＜ 4$，
综合两个不等式，得到：
$-1 ≤ x ＜ 4$，
在这个范围内，最小的整数解为 $-1$。
对于第一个不等式：
$x \otimes 2 ≤ 3 \implies 1 - 2x ≤ 3$，
化简得到：
$-2x ≤ 2 \implies x ≥ -1$，
对于第二个不等式：
$ (-\frac{1}{3}) \otimes x ＜ \frac{7}{3} \implies 1 - (-\frac{1}{3}x) ＜ \frac{7}{3}$，
化简得到：
$1 + \frac{1}{3}x ＜ \frac{7}{3} \implies \frac{1}{3}x ＜ \frac{4}{3} \implies x ＜ 4$，
综合两个不等式，得到：
$-1 ≤ x ＜ 4$，
在这个范围内，最小的整数解为 $-1$。
13. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”。
例如：$ x - 2 = -1 $ 的解为 $ x = 1 $，不等式组 $\begin{cases}x ＜ -x + 3, \\ 4x + 1 ≥ x - 5\end{cases}$ 的解集为 $ -2 ≤ x ＜ \dfrac{3}{2} $，不难发现 $ x = 1 $ 在 $ -2 ≤ x ＜ \dfrac{3}{2} $ 的范围内，所以 $ x - 2 = -1 $ 是不等式组 $\begin{cases}x ＜ -x + 3, \\ 4x + 1 ≥ x - 5\end{cases}$ 的“相伴方程”。
问题解决：
(1) 在方程① $ 5 - x = 0 $，② $ 3x = -1 $ 中，不等式组 $\begin{cases}x + 2 ＞ -3, \\ 4x ≤ 4\end{cases}$ 的“相伴方程”是 ______ ；(填序号)
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ 3k + x = 1 $ 是不等式组 $\begin{cases}x - 2 ＜ 0, \\ 3x - 1 ≤ 4x\end{cases}$ 的“相伴方程”，求 $ k $ 的取值范围。
例如：$ x - 2 = -1 $ 的解为 $ x = 1 $，不等式组 $\begin{cases}x ＜ -x + 3, \\ 4x + 1 ≥ x - 5\end{cases}$ 的解集为 $ -2 ≤ x ＜ \dfrac{3}{2} $，不难发现 $ x = 1 $ 在 $ -2 ≤ x ＜ \dfrac{3}{2} $ 的范围内，所以 $ x - 2 = -1 $ 是不等式组 $\begin{cases}x ＜ -x + 3, \\ 4x + 1 ≥ x - 5\end{cases}$ 的“相伴方程”。
问题解决：
(1) 在方程① $ 5 - x = 0 $，② $ 3x = -1 $ 中，不等式组 $\begin{cases}x + 2 ＞ -3, \\ 4x ≤ 4\end{cases}$ 的“相伴方程”是 ______ ；(填序号)
(2) 若关于 $ x $ 的方程 $ 3k + x = 1 $ 是不等式组 $\begin{cases}x - 2 ＜ 0, \\ 3x - 1 ≤ 4x\end{cases}$ 的“相伴方程”，求 $ k $ 的取值范围。
答案
(1) 解方程①：$5 - x = 0$，得$x = 5$；解方程②：$3x = -1$，得$x = -\dfrac{1}{3}$。
解不等式组$\begin{cases}x + 2 ＞ -3 \\ 4x ≤ 4\end{cases}$：
由$x + 2 ＞ -3$得$x ＞ -5$；由$4x ≤ 4$得$x ≤ 1$，解集为$-5 ＜ x ≤ 1$。
$x = 5$不在$-5 ＜ x ≤ 1$内，$x = -\dfrac{1}{3}$在$-5 ＜ x ≤ 1$内，故“相伴方程”是②。
(2) 解方程$3k + x = 1$，得$x = 1 - 3k$。
解不等式组$\begin{cases}x - 2 ＜ 0 \\ 3x - 1 ≤ 4x\end{cases}$：
由$x - 2 ＜ 0$得$x ＜ 2$；由$3x - 1 ≤ 4x$得$x ≥ -1$，解集为$-1 ≤ x ＜ 2$。
因为方程是“相伴方程”，所以$-1 ≤ 1 - 3k ＜ 2$。
解$-1 ≤ 1 - 3k$：$-2 ≤ -3k$，得$k ≤ \dfrac{2}{3}$；
解$1 - 3k ＜ 2$：$-3k ＜ 1$，得$k ＞ -\dfrac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$-\dfrac{1}{3} ＜ k ≤ \dfrac{2}{3}$。
(1) ②
(2) $-\dfrac{1}{3} ＜ k ≤ \dfrac{2}{3}$
解不等式组$\begin{cases}x + 2 ＞ -3 \\ 4x ≤ 4\end{cases}$：
由$x + 2 ＞ -3$得$x ＞ -5$；由$4x ≤ 4$得$x ≤ 1$，解集为$-5 ＜ x ≤ 1$。
$x = 5$不在$-5 ＜ x ≤ 1$内，$x = -\dfrac{1}{3}$在$-5 ＜ x ≤ 1$内，故“相伴方程”是②。
(2) 解方程$3k + x = 1$，得$x = 1 - 3k$。
解不等式组$\begin{cases}x - 2 ＜ 0 \\ 3x - 1 ≤ 4x\end{cases}$：
由$x - 2 ＜ 0$得$x ＜ 2$；由$3x - 1 ≤ 4x$得$x ≥ -1$，解集为$-1 ≤ x ＜ 2$。
因为方程是“相伴方程”，所以$-1 ≤ 1 - 3k ＜ 2$。
解$-1 ≤ 1 - 3k$：$-2 ≤ -3k$，得$k ≤ \dfrac{2}{3}$；
解$1 - 3k ＜ 2$：$-3k ＜ 1$，得$k ＞ -\dfrac{1}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$-\dfrac{1}{3} ＜ k ≤ \dfrac{2}{3}$。
(1) ②
(2) $-\dfrac{1}{3} ＜ k ≤ \dfrac{2}{3}$
