登录
1. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x - y = 5k, \\x + y = 2k\end{cases}$的解也是二元一次方程$x - 3y = 8$的解，则$k$等于( ).
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
A
解析
首先，解二元一次方程组：
$\begin{cases}x - y = 5k \quad (1), \\x + y = 2k \quad (2).\end{cases}$
将方程(1)与方程(2)相加，得到：
$2x = 7k \implies x = \frac{7}{2}k$，
再将方程(1)与方程(2)相减得到：
$2y = -3k \implies y = -\frac{3}{2}k$，
接下来，将求得的$x$和$y$的表达式代入方程$x - 3y = 8$中，得到：
$\frac{7}{2}k - 3 × ( - \frac{3}{2}k) = 8$，
化简后得到：
$\frac{7}{2}k + \frac{9}{2}k = 8 \implies 8k = 8 \implies k = 1$。
$\begin{cases}x - y = 5k \quad (1), \\x + y = 2k \quad (2).\end{cases}$
将方程(1)与方程(2)相加，得到：
$2x = 7k \implies x = \frac{7}{2}k$，
再将方程(1)与方程(2)相减得到：
$2y = -3k \implies y = -\frac{3}{2}k$，
接下来，将求得的$x$和$y$的表达式代入方程$x - 3y = 8$中，得到：
$\frac{7}{2}k - 3 × ( - \frac{3}{2}k) = 8$，
化简后得到：
$\frac{7}{2}k + \frac{9}{2}k = 8 \implies 8k = 8 \implies k = 1$。
2. 关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x - y = 2a - 1,① \\3x + 6y = a + 3②\end{cases}$的解满足$2x + 2y = 1$，则$a$的值是 ______ .
答案
1/6
解析
①+②得：5x+5y=3a+2，即5(x+y)=3a+2，故x+y=(3a+2)/5。
∵2x+2y=1，∴x+y=1/2。
则(3a+2)/5=1/2，解得3a+2=5/2，3a=1/2，a=1/6。
∵2x+2y=1，∴x+y=1/2。
则(3a+2)/5=1/2，解得3a+2=5/2，3a=1/2，a=1/6。
3. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - 2y = 2a, \\2x + 5y = a - 6\end{cases}$的解$x$，$y$互为相反数，求$a$的值.
答案
$\because x$，$y$互为相反数，
$\therefore x + y = 0$，
即$x = - y$，
把$x = - y$代入方程组$\begin{cases}x - 2y = 2a, \\2x + 5y = a - 6.\end{cases}$
得$\begin{cases}-y - 2y = 2a ,\\2(-y) + 5y = a - 6.\end{cases}$
即$\begin{cases}-3y = 2a, \\3y = a - 6.\end{cases}$
把$3y = a - 6$代入$-3y = 2a$中，
得$-(a - 6) = 2a$，
$-a+6 = 2a$，
$3a = 6$，
$a = 2$。
综上，$a$的值为$2$。
$\therefore x + y = 0$，
即$x = - y$，
把$x = - y$代入方程组$\begin{cases}x - 2y = 2a, \\2x + 5y = a - 6.\end{cases}$
得$\begin{cases}-y - 2y = 2a ,\\2(-y) + 5y = a - 6.\end{cases}$
即$\begin{cases}-3y = 2a, \\3y = a - 6.\end{cases}$
把$3y = a - 6$代入$-3y = 2a$中，
得$-(a - 6) = 2a$，
$-a+6 = 2a$，
$3a = 6$，
$a = 2$。
综上，$a$的值为$2$。
4. 已知方程组$\begin{cases}5x + y = 3, \\ax + 5y = 4\end{cases}$和$\begin{cases}x - 2y = 5, \\5x + by = 1\end{cases}$有相同的解，求$a$，$b$的值.
答案
首先，解方程组$\begin{cases}5x + y = 3, \\x - 2y = 5.\end{cases}$
将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相加，得到：
$10x + 2y + x - 2y = 6 + 5$，
即$11x = 11$，
解得$x = 1$。
将 $x = 1$ 代入 $x - 2y = 5$，得到：
$1 - 2y = 5$，
解得$y = -2$。
所以，方程组的解为$\begin{cases}x = 1, \\y = -2.\end{cases}$
接下来，将 $x = 1$ 和 $y = -2$ 代入$\begin{cases}ax + 5y = 4, \\5x + by = 1.\end{cases}$
得到$\begin{cases}a - 10 = 4, \\5 - 2b = 1.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$a = 14$，
$b = 2$。
所以$a = 14$，$b = 2$。
将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相加，得到：
$10x + 2y + x - 2y = 6 + 5$，
即$11x = 11$，
解得$x = 1$。
将 $x = 1$ 代入 $x - 2y = 5$，得到：
$1 - 2y = 5$，
解得$y = -2$。
所以，方程组的解为$\begin{cases}x = 1, \\y = -2.\end{cases}$
接下来，将 $x = 1$ 和 $y = -2$ 代入$\begin{cases}ax + 5y = 4, \\5x + by = 1.\end{cases}$
得到$\begin{cases}a - 10 = 4, \\5 - 2b = 1.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$a = 14$，
$b = 2$。
所以$a = 14$，$b = 2$。
5. 甲、乙两人共同解方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15,① \\4x - by = -2,②\end{cases}$由于甲看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3, \\y = -1,\end{cases}$乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 4.\end{cases}$试计算$a^{2024} + (-\frac{b}{10})^{2023}$的值.
答案
因为甲看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3, \\y = -1,\end{cases}$
将这组解代入方程②得：$4×(-3)-b×(-1)=-2$，
即$-12 + b = -2$，
解得$b = 10$。
因为乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 4,\end{cases}$
将这组解代入方程①得：$5a + 5×4 = 15$，
即$5a+20 = 15$，
移项可得$5a=15 - 20=-5$，
解得$a = -1$。
将$a = -1$，$b = 10$代入$a^{2024}+(-\frac{b}{10})^{2023}$得：
$(-1)^{2024}+(-\frac{10}{10})^{2023}$
因为$(-1)^{2024}=1$，$(-1)^{2023}=-1$，
所以$1+(-1)=0$。
综上，$a^{2024}+(-\frac{b}{10})^{2023}$的值为$0$。
将这组解代入方程②得：$4×(-3)-b×(-1)=-2$，
即$-12 + b = -2$，
解得$b = 10$。
因为乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 4,\end{cases}$
将这组解代入方程①得：$5a + 5×4 = 15$，
即$5a+20 = 15$，
移项可得$5a=15 - 20=-5$，
解得$a = -1$。
将$a = -1$，$b = 10$代入$a^{2024}+(-\frac{b}{10})^{2023}$得：
$(-1)^{2024}+(-\frac{10}{10})^{2023}$
因为$(-1)^{2024}=1$，$(-1)^{2023}=-1$，
所以$1+(-1)=0$。
综上，$a^{2024}+(-\frac{b}{10})^{2023}$的值为$0$。
