2026年新课程自主学习与测评八年级数学下册人教版第45页答案

7. 如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 在 $AC$ 上，且 $AF = CE$，点 $G$，$H$ 分别在 $AB$，$CD$ 上，且 $AG = CH$，$AC$ 与 $GH$ 相交于点 $O$. 求证：（1）$EG// FH$；（2）$GH$，$EF$ 互相平分.

答案

7. 证明：（1）
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB // CD，
∴ ∠BAC = ∠DCA.
∵ AF = CE，
∴ AE = CF. 又
∵ AG = CH，
∴ △AGE ≌ △CHF，
∴ ∠AEG = ∠CFH，
∴ ∠GEO = ∠HFO，
∴ EG // FH. （2）连接 GF，EH. 由（1）知 EG 平行且等于 FH，
∴ 四边形 GFHE 是平行四边形，
∴ GH，EF 互相平分.

如图，在 $□ ABCD$ 中，$∠ BAD$ 和 $∠ DCB$ 的平分线 $AE$，$CF$ 分别交 $BC$，$AD$ 于点 $E$，$F$，点 $M$，$N$ 分别为 $AE$，$CF$ 的中点，连接 $FM$ 和 $EN$，试判断 $FM$ 和 $EN$ 的数量关系和位置关系并加以说明.

答案

解：
$FM = EN$，$FM// EN$。
理由如下：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$∠ BAD=∠ DCB$，$AD// BC$，$AB = CD$。
因为$AE$平分$∠ BAD$，$CF$平分$∠ DCB$，所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ DCB$，则$∠ BAE=∠ DCF$。
又因为$AD// BC$，所以$∠ DAE=∠ AEB$，而$∠ DAE=∠ BAE$，所以$∠ BAE=∠ AEB$，即$AB = BE$。同理可得$CD = DF$，又$AB = CD$，所以$BE = DF$。
因为$AD = BC$，所以$AD - DF = BC - BE$，即$AF = EC$。
又因为$AF// EC$，所以四边形$AECF$是平行四边形，则$AE = CF$，$AE// CF$。
因为点$M$，$N$分别为$AE$，$CF$的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AE$，$CN=\frac{1}{2}CF$，则$AM = CN$。
又因为$AM// CN$，所以四边形$AMCN$是平行四边形，所以$FM = EN$，$FM// EN$。
综上，$FM$与$EN$的数量关系是$FM = EN$，位置关系是$FM// EN$。

1. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在$BC$上，$BD = AB$，$BM⊥ AD$于点$M$，$N$是$AC$的中点，连接$MN$，若$AB = 6$，$BC = 10$，则$MN$为(

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